我們?cè)诔醵呀?jīng)學(xué)習(xí)過勾股定理。在國(guó)外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前 580～前 500年）。
實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。除我國(guó)在公元前 1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如說，美國(guó)的數(shù)學(xué)史家M?克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識(shí)到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測(cè)量員），但所傳他們?cè)诶K上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成長(zhǎng)度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實(shí)�！辈贿^，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長(zhǎng)度為 30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請(qǐng)問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號(hào)，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫。
無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國(guó)人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時(shí)期、不同的地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，顯然不僅僅是哪一個(gè)民族的私有財(cái)產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐?cái)富。值得一提的是：在發(fā)現(xiàn)這一共同性質(zhì)后的收獲卻是不完全相同的。下面以“畢達(dá)哥拉斯定理”和“勾股定理”為例，做一簡(jiǎn)單介紹：
一、畢達(dá)哥拉期定理
畢達(dá)哥拉斯是一個(gè)古希臘人的名宇。生于公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，后來移居意大利半島南部的克羅托內(nèi)，并在那里組織了一個(gè)集政治、宗教、數(shù)學(xué)于一體的秘密團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派非常重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來解釋一切。他們宣稱，數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于實(shí)用，而是為了探索自然的奧秘。他們對(duì)數(shù)學(xué)看法的一個(gè)重大貢獻(xiàn)是有意識(shí)地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào)；數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實(shí)際事物或?qū)嶋H形象是截然不同的。有些原始文明社會(huì)中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數(shù)脫離實(shí)物來思考，但他們對(duì)這種思考的抽象性質(zhì)所達(dá)到的自覺認(rèn)識(shí)程度，與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相比，是有相當(dāng)差距的。而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實(shí)物的。例如，埃及人認(rèn)為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界。這個(gè)學(xué)派還有一個(gè)特點(diǎn)，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來。
正因?yàn)槿绱�，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在他們的探索中，發(fā)現(xiàn)了既屬于算術(shù)又屬于幾何的用三個(gè)整數(shù)表示直角三角形邊長(zhǎng)的公式：若2n+1,分別是兩直角邊，則斜邊是 （不過這法則并不能把所有的整勾股數(shù)組表示出來）。也正是由于上述原因，這個(gè)學(xué)派通過對(duì)整勾股數(shù)的尋找和研究，發(fā)現(xiàn)了所謂的“不可通約量”──例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對(duì)角線與其一邊之比不能用整數(shù)之比表達(dá)。為此，他們把那些能用整數(shù)之比表達(dá)的比稱做“可公度比”，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達(dá)的比稱做“不可公度比”。像我們今日寫成：l的比便是不可公度比。至于與1不能公度的證明也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派給出的。這個(gè)證明指出：若設(shè)等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那么，同一個(gè)數(shù)將既是奇數(shù)又是偶數(shù)。證明過程如下：設(shè)等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為α：β，并設(shè)這個(gè)比已表達(dá)成最小整數(shù)之比。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，有。由于為偶數(shù)即為偶數(shù)，所以α必然也是偶數(shù)，因?yàn)槿我黄鏀?shù)的平方必是奇數(shù)（任一奇數(shù)可表示為 2n+1，于是，這仍是一個(gè)奇數(shù)。但是α：β是既約的，因此，β必然不是偶數(shù)而是奇數(shù)，α既然是偶數(shù)，故可設(shè)α=2γ。于是。因此，，這里，是個(gè)偶數(shù)，于是β也是偶數(shù)，但是β同時(shí)又是個(gè)奇數(shù)，這就產(chǎn)生了矛盾。 關(guān)于對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和”。其證明是用面積來進(jìn)行的。
如下圖，可證
圖1
△ABD ≌△FBC，
矩形 BL=2△ABD，
正方形 GB= 2△凸FBC。
于是 矩形 BL=正方形GB。
同樣有 矩形CL=正方形AK。
所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)勾股定理的研究及其收獲由此可見一般 高中歷史。實(shí)際上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)心得更多的是數(shù)學(xué)問題本身的研究；以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為代表的古希臘數(shù)學(xué)是以空間形式為主要研究對(duì)象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式。而畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)（關(guān)于可公度比與不可公度比的研究、討論），實(shí)際上導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，盡管畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不愿意接受這樣的數(shù)，并因此造成了數(shù)學(xué)史上所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的探索仍然是功不可沒的。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/74545.html
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