在具有對稱性的平面圖形中，圓這個最簡單的曲線最令人驚嘆。它是唯一具有無窮多條對稱軸的軸對稱圖形，它又是特殊的中心對稱圖形，同學們都知道，中心對稱圖形繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后所得到的圖形跟原圖形重合，而將圓繞其中心旋轉(zhuǎn)任意一個角度后所得的圖形跟原圖形重合，這是圓的獨特性質(zhì)。怪不得圓被稱為最完美的曲線。

同學們也許見過這樣一道智力游戲題：設有數(shù)量足夠多的各種面值的硬幣，讓兩個人輪流的在圓形桌面上擺硬幣，每次擺一個，個個不能互相重疊，也不能有一部分落在桌面的邊緣意外。這樣，經(jīng)過充分多次以后，誰先擺不下硬幣就算輸。試證：先擺的人有辦法使對方一定輸。

先擺的人為什么能穩(wěn)操勝券呢？就因為圓形桌面是中心對稱圖形！“先手”只要把第一個硬幣擺在桌面的中心，以后不管“后手”把硬幣擺在哪里，“先手”總可以把相同面值的硬幣擺在與“后手”所擺硬幣（關(guān)于中心）對稱的地方。這樣，只要“后手”有地方擺的下“先手”也總可以擺得下。因此“后手”準輸。

這里僅僅利用了圓的中心對稱性質(zhì)。因此，本題中把圓形桌面改成矩形桌面、橢圓形桌面或其他具有中心對稱性的圖形的桌面，問題的結(jié)論仍然不變。

同學們大概不會不知道著名的中國“太極圖”（圖1）吧！實際上，它是把一個圓分成陰陽兩個部分而成的，因而具有“陰”和“陽”對立統(tǒng)一的深刻含義。

圖2使用以說明太極圖畫法的：在一個大圓內(nèi)以其半徑為直徑，做兩個相外切且都內(nèi)切于大圓的小圓，然后擦掉虛線所示的兩個半圓，就畫成一個太極圖。 高中語文

面對著我們這個國粹，試想想：能夠引一條直線把太極圖上陰陽兩個部分的面積都平分嗎？

這個問題的解也跟對稱性有關(guān)。為了敘述的方便，我們以大圓中心O為原點，兩小圓的連心線為y軸，建立一個直角坐標系（圖3）。設大圓的面積為4，則陰陽兩部分的面積都是2，兩個小圓的面積都是1。大圓在第一象限部分的面積也是1，小圓在第二象限部分I的面積為1/2。圖形對稱性告訴我們，所作的直線必須通過大圓中心O（即原點），它應該把大圓在第一象限的部分分割出面積等于1/2的部分Ⅱ，Ⅱ跟Ⅰ即拼成面積等于1的圖形。因此，所作的直線必定是第一象限的象限角平分線。延長之，它也平分太極圖的另一部分的面積。因此，第一、第三象限角的平分線就是所求的直線。可以證明，這是唯一符合條件的直線。

古往今來，優(yōu)美的對稱性曾激起無數(shù)科學探索者創(chuàng)造性的靈感。同學們在學習數(shù)學中也能經(jīng)常體驗到對稱思想的啟示。因而，再有對稱軸的圖形中，給出對稱軸一側(cè)的圖形，你就應該能夠想象出另一側(cè)的圖形。果能如此，諸如下面這樣的問題是不難解決的：在直線L的同側(cè)有兩個圓⊙與⊙ （圖4）。一條光線跟⊙相切射向L后,反射線又跟⊙相切，使畫出光線圖本題的困難在于不知道光線時從哪個點發(fā)生的。要是⊙縮成一點，那么問題變得簡單（圖5）。

   

但是，這是我們只知道光線經(jīng)過點，也可以認為光線從點發(fā)出射向L后，反射線又跟⊙相切。至于入射點在哪里還未弄清楚。如果讓⊙也縮成一點，那么問題就成為我們所熟悉的關(guān)于光線從點射向L，反射點經(jīng)過的問題了。

最后一個問題的解法是：作點關(guān)于L的對稱點，連交L于點P。連，則所求光線為射線（在L上側(cè)的部分）與射線（圖6）。

受對稱性的啟示，中間那個問題（由同學們自行完成）乃至于原問題也就不難解決了。

原問題解法如下：作⊙關(guān)于直線L的對稱圖⊙。作⊙與⊙的公切線，則公切線在L上側(cè)部分就是反射線，對公切線在L下側(cè)部分施行關(guān)于ｌ的對稱變換，就得到入射線（圖７）。由于⊙與⊙的公切線有四條，所以所求的光線共有四條折線（圖7只畫出一條，請同學們自己畫出其他三條）。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/76137.html

相關(guān)閱讀：人教版高一數(shù)學知識點歸納