導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)，它給我們解決復(fù)雜函數(shù)問題帶來了很多的方便。為了培養(yǎng)同學(xué)們對導(dǎo)數(shù)的濃厚興趣，今天就帶大家深入了解導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量X在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動學(xué)中，物體的位移對于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

對于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，f'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱作f的導(dǎo)函數(shù)。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過程稱為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過來求原來的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。

起源

大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時(shí)，他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A)，發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說的導(dǎo)數(shù)f'(A)。

發(fā)展

17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數(shù)，相當(dāng)于我們所說的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》，流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成；最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。

成熟

1750年達(dá)朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)，可以用現(xiàn)代符號簡單表示：{dy/dx)=lim(oy/ox).

1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值，那么是使變量得到一個(gè)無窮小增量。19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)。導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。

微積分學(xué)理論基礎(chǔ)，大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無限理論，即無限是一個(gè)具體的東西，一種真實(shí)的存在；另一種是潛無限理論，指一種意識形態(tài)上的過程，比如無限接近。

就數(shù)學(xué)歷史來看，兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無限用了150年，后來極限論就是現(xiàn)在所使用的。

光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長期爭論的問題，后來由波粒二象性來統(tǒng)一。微積分無論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論，都不是最好的方法。

連續(xù)不可導(dǎo)的曲線

例如,魏爾斯特拉斯函數(shù)就是一類處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)。魏爾斯特拉斯函數(shù)是一種無法用筆畫出任何一部分的函數(shù)，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都不存在，畫的人無法知道每一點(diǎn)該朝哪個(gè)方向畫。魏爾斯特拉斯函數(shù)的每一點(diǎn)的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函數(shù)得名于十九世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家卡爾?魏爾斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass;1815?1897)。歷史上，魏爾斯特拉斯函數(shù)是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)反例。魏爾斯特拉斯之前，數(shù)學(xué)家們對函數(shù)的連續(xù)性認(rèn)識并不深刻。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為除了少數(shù)一些特殊的點(diǎn)以外，連續(xù)的函數(shù)曲線在每一點(diǎn)上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函數(shù)的出現(xiàn)說明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性，改變了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家對連續(xù)函數(shù)的看法。

認(rèn)識了導(dǎo)數(shù)的由來之后，那么利用導(dǎo)數(shù)理論解決數(shù)學(xué)問題還是我們學(xué)習(xí)的重中之重。

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