"數(shù)學(xué)分析"課程是數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課程。學(xué)好"數(shù)學(xué)分析"課程是學(xué)好其他一些后繼課程如"微分方程"、"復(fù)變函數(shù)"、"實變函數(shù)"、"泛函分析"與"概率論與數(shù)理統(tǒng)計"等課程的必備基礎(chǔ)。同時"數(shù)學(xué)分析"課程也是以更高層次、更深入地理解中學(xué)數(shù)學(xué)教材所必需的基礎(chǔ)。通過"數(shù)學(xué)分析"課程基本知識的傳授與相關(guān)習(xí)題、實例的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成嚴謹務(wù)實的學(xué)風(fēng)，邏輯思維能力，分析和解決問題的能力有進一步提高。特別是注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。力爭為把學(xué)生培養(yǎng)成既有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、又有科學(xué)創(chuàng)新精神的人才打下良好的基礎(chǔ)。因此該課程的教學(xué)好壞在一定程度上關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)與提高。
1、數(shù)學(xué)建模及其思想內(nèi)涵
模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。
數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而做的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。
具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達式。
數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)簡單理解就是建立數(shù)學(xué)模型的全過程，也就是在深入調(diào)查研究，了解實際問題，做出合理的簡化假設(shè)，分析其內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，獲得數(shù)學(xué)模型，然后通過求解、計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。數(shù)學(xué)建模的一般步驟如圖1所示，全過程如圖2所示。
2、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"課程中的作用與意義
作為數(shù)學(xué)類最重要的基礎(chǔ)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了"數(shù)學(xué)分析"在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這一堅實的基礎(chǔ)。"數(shù)學(xué)分析"由于對微積分在理論體系上的嚴格化和精確化，確立了在數(shù)學(xué)科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。同時，數(shù)學(xué)研究的主體是經(jīng)過抽象后的對象，數(shù)學(xué)的思考方式有鮮明的特色，包括抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號運算等，這些知識和能力的培養(yǎng)需要通過系統(tǒng)、扎實而嚴格的基礎(chǔ)教育來實現(xiàn)，"數(shù)學(xué)分析"課程正是其中最重要的一個環(huán)節(jié)。
"數(shù)學(xué)分析"的教學(xué)存在著諸多問題。例如，對于剛進入大學(xué)的新生，不太適應(yīng)大學(xué)教師的教學(xué)方法與模式;學(xué)生認為"數(shù)學(xué)分析"課程過于抽象，與實際生活距離較遠，對該課程缺乏學(xué)習(xí)熱情和動力[1].融數(shù)學(xué)建模思想方法于"數(shù)學(xué)分析"課程的教學(xué)中，配合適量的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容進行教學(xué)，有利于學(xué)生對基礎(chǔ)理論知識的掌握，提高學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)實踐應(yīng)用能力，同時可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與熱情，提高自身素質(zhì)和素養(yǎng)。可以起到以下作用：激發(fā)學(xué)生的參與探索的興趣;增強聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實際運用的能力;促進"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)的改革;提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
3、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)
"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中要求掌握的很多內(nèi)容可以看作是數(shù)學(xué)建模的模型求解階段，比如函數(shù)的可微性、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的計算等[2].因此，在實際教學(xué)過程中，應(yīng)適當結(jié)合數(shù)學(xué)模型的建模全過程來進行講解，使學(xué)生了解問題的來龍去脈，逐步的進行分析、求解等，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中系統(tǒng)地了解與掌握分析問題、解決問題的思想與方法，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更好的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。
3.1融數(shù)學(xué)建模思想于概念、定義教學(xué)之中
從恰當?shù)陌咐幸敫拍钍菍?shù)學(xué)建模思想融入"數(shù)學(xué)分析"課程教學(xué)的重要形式[3]."數(shù)學(xué)分析"課程中有很多非常重要的概念，如函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、重積分、級數(shù)等，這些概念都是從一些具體問題出發(fā)，抓住其在數(shù)量關(guān)系等方面的共同本質(zhì)和特性而加以概括、抽象出來的。在一些重要概念教學(xué)過程中，對概念的引入，任課教師要精心設(shè)計，這樣在知識傳授過程中，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思想、方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)，知曉知識點的來龍去脈，使學(xué)生明白那些看似枯燥無味的概念不是頭腦中所固有的，而是有著很強的現(xiàn)實背景，有其特有的物理原型和表象的。
例如，對于定積分概念，初學(xué)時學(xué)生倍感這一概念很抽象。其實，這一概念是在很多具體原型的基礎(chǔ)之上抽象而得到的，如求曲邊梯形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等。在教學(xué)過程之中可以將求曲邊梯形面積作為原型，借助"不變代變"的思想，通過"分劃→近似→求和→取極限"4個步驟，最終將無限細分所得的近似值的極限定義為曲邊梯形面積的值，從而這個幾何問題得到解決[4].通過這一數(shù)學(xué)模型來進行教學(xué)，可以使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)并理解這一概念，比把概念用抽象、不易理解的數(shù)學(xué)符號直接呈現(xiàn)給學(xué)生要生動、形象、有趣的多，更容易使學(xué)生記住、理解、掌握知識點，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情勢必會更高，可以達到事半功倍的教學(xué)效果。
又例如，在講授無窮級數(shù)這一概念時，為了引入該概念，任課教師可以介紹"阿基里斯追龜悖論".對于該悖論，教師在分析完該悖論的內(nèi)容、產(chǎn)生的原因、哲學(xué)辨析之后，可建立簡單的模型來解釋，其詳細過程可參見文獻[5].芝諾悖論涉及到了無窮項求和，這是學(xué)生先前并未接觸到的，只是熟知有限項求和的相關(guān)內(nèi)容。教師引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的有限項求和概念，結(jié)合已學(xué)的極限理論，逐漸給出無窮項求和的可能性及基本方法，極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
3.2融數(shù)學(xué)建模思想于定理、結(jié)論教學(xué)之中
"數(shù)學(xué)分析"中有很多較為抽象、不易理解的定理，如何講授這樣的定理，使學(xué)生更容易理解、掌握與靈活運用定理解決一些實際問題，這是教學(xué)過程的一大難點[6].對于定理的證明，可將定理的結(jié)論視為是一個數(shù)學(xué)模型，將定理的條件視為模型的假設(shè)條件，即可根據(jù)預(yù)先設(shè)置好的問題情景逐步地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，最終建立相應(yīng)的模型。這樣融入數(shù)學(xué)建模思想于教學(xué)的方法，一方面使學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識，另一方面讓他們體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是培養(yǎng)學(xué)生意識與創(chuàng)新能力的好途徑。
多年來，在講授數(shù)學(xué)課程的過程中，常常會遇到學(xué)生提出這樣一個問題：數(shù)學(xué)知識究竟有什么用?許多學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識有用，必須學(xué)好，但在實際生活中似乎又看不到數(shù)學(xué)有什么用，也不知道怎樣用，在什么時候用，尤其是數(shù)學(xué)中的定理結(jié)論之類。這樣一來，學(xué)生會喪失學(xué)習(xí)的興趣。為了提高學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，在一些定理、結(jié)論的教學(xué)過程中，適時增加一些數(shù)學(xué)模型的實例。
案例：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎[7]
模型的假設(shè)：①4條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，4只腳連線呈正方形;②地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;③地面相對平坦，使椅子在任意位置至少3只腳同時著地。
模型的構(gòu)成：利用正方形的對稱性，以椅腳連線為對稱，椅腳按O點進行旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)示意圖如圖3所示，用θ(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置，4只腳著地表明4個椅腳與地面的距離為零，其中這4個距離都是θ的函數(shù)。根據(jù)正方形對稱性，4個距離中可以進行組合，實際考慮兩個距離：A,C兩腳與地面距離之和，用f(θ)表示;B,D兩腳與地面距離之和，用g(θ)表示。根據(jù)假設(shè)②可知，f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，椅子在任意位置至少3只腳著地，于是正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)，對任意θ，f(θ)，g(θ)中至少一個為0.這樣，椅子能不能在不平的地面上放穩(wěn)這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：已知f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f(θ)·g(θ)=0,且g(θ)=0,f(θ)>0,證明存在θ0,使f(θ0)=g(θ0)=0.
模型求解：由連續(xù)函數(shù)的根的存在定理解決此問題。
這樣把理論應(yīng)用到實踐中去，解決一些實際問題，可以達到加深理解，深化、鞏固所學(xué)理論的作用。
3.3融數(shù)學(xué)建模思想于作業(yè)之中
作業(yè)是學(xué)生經(jīng)過獨立思考，自覺、有目的地分析問題、解決問題，將學(xué)得的知識運用于實際的智力活動過程，是鞏固新授知識，形成技能技巧，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生智力的重要途徑，是課堂教學(xué)過程中不可跨越的一環(huán)。通過寫作業(yè)可以檢查學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，加深對知識的理解和記憶，充分發(fā)揮學(xué)生的智慧和潛力，同時也有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。針對"數(shù)學(xué)分析"理論性較強的特點，有目的讓學(xué)生解決一些實際問題。只有把理論應(yīng)用到實踐中去，解決幾個實際問題，才能達到理解、深化、鞏固所學(xué)理論的效果[8].在"數(shù)學(xué)分析"的習(xí)題課教學(xué)中，教師可根據(jù)實際情況適時將教材中的一些純數(shù)學(xué)問題進行改編、加工成一些具有實際意義的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析有關(guān)理論知識以及思想、方法來解決問題。這一過程事實上就是進行數(shù)學(xué)建模的過程。通過這樣應(yīng)用題目的解決，使學(xué)生能夠更加深刻地體會到學(xué)習(xí)"數(shù)學(xué)分析"的樂趣和意義。
4、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中應(yīng)注意的問題
融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中，一定要把握度的問題，在一些問題上不要刻意去追求。由于課時有限，課堂教學(xué)過程中"插入"內(nèi)容課時不宜安排過多，否則將會影響課程教學(xué)計劃;但又不能"蜻蜓點水",沒有一定的深度。這就要求教師要充分研究"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)內(nèi)容，精選合適的案例，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的思想，并將之作為"數(shù)學(xué)分析"課程教學(xué)的延伸性和推廣性內(nèi)容來講授。在這過程中，需注意以下幾條：注意循序漸進性，切記急功近利;案例要精，反映主題;正確處理好與數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)的關(guān)系。
5、結(jié)語
目前，在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽活動的影響與推動下，"數(shù)學(xué)建模"與"數(shù)學(xué)實驗"等課程已是各個高校高年級的選修或必修課程。"數(shù)學(xué)分析"是大一年級的基礎(chǔ)課程之一，融數(shù)學(xué)建模思想、方法于"數(shù)學(xué)分析"課程的教學(xué)中，這對教育教學(xué)改革具有積極的意義，這將有助于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與能力，逐漸提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論與原理解決實際問題的能力。在具體實施的過程中，教師應(yīng)處理好教學(xué)內(nèi)容的"嚴謹性"和"實用性"的關(guān)系，以促進教育教學(xué)改革的持續(xù)良性發(fā)展。
參考文獻：
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