線面距離典例剖析

【例1】 求證：如果一個平面經(jīng)過一條線段的中點，那么這條線段的兩個端點到這個平面的距離相等.

已知：線段AB的中點為O，O∈平面α.

求證：A、B兩點到平面α的距離相等.

證明：(1)當(dāng)線段在平面α上時，A、B兩點顯然到平面α的距離相等且為0.

(2)當(dāng)線段AB不在平面α上時，作AA1⊥α，BB1⊥α，A1和B1為垂足，則AA1、BB1分別是A、B到平面α的距離，且AA1∥BB1，AA1、BB1確定平面β，β∩α=A1B1.

∵O∈AB，ABβ，∴O∈β，又O∈α.∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.

∵∠AOA1=∠BOB1，AO=BO，

∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1=BB1，即線段AB的兩個端點到平面α的距離相等.

點評：該題中，證明A1、O、B1三點共線是關(guān)鍵，離開這一點，就無法證明三角形全等.另外，第(1)步有些同學(xué)往往漏掉，使證明失掉嚴(yán)謹(jǐn)性.

【例2】 如圖，已知AB是異面直線A、B的公垂線段，Bα，a∥α，求證：線段AB的長就是a與平面α之間的距離.

證明：∵Ba，∴由直線a、點B可確定平面，設(shè)為β，則α和β相交，設(shè)=a′.

∵a∥α，∴a∥a′.

又∵AB⊥a，∴AB⊥a′.

∵a、b是異面直線，∴b∩a′=B.又b、a′α，

∴AB⊥α，a∈a，A∥α.

∴AB的長為a到α之間的距離.

點評：由本例的結(jié)論知異面直線a、b之間的距離(公垂線段AB的長度)就是a與α之間的距離，利用這個結(jié)論，求異面直線間的距離可轉(zhuǎn)化為求線面之間的距離.

【例3】 如圖，已知梯形ABCD的一底邊AB在平面α內(nèi)，另一底邊DC在平面α外，對角線交點O到平面α的距離為d，若AB∶CD=m∶n，求CD到平面α的距離.

解：∵CD在平面α外，CD∥BA，BAα，

∴CD∥平面α.

作CC1⊥α，C1為垂足，則CC1就是CD和平面α的距離.

作OO1⊥AC1于O1，

∵CC1⊥AC1，∴OO1∥CC1.

∵CC1⊥α，∴OO1⊥α.

∴OO1是O到平面α的距離，即OO1=d.

在梯形ABCD中，==，

∴=.

在平面ACC1內(nèi)，==，

∴CC1=d.

因此，CD到平面α的距離為d.

點評：求線面之間的距離，“作、證、算”三步必不可少，即找出代表距離的垂線段并證明之，然后構(gòu)造平面圖形(多數(shù)為三角形)來算出.

歸根結(jié)底求解它們都可以和直線與平面垂直建立密切的聯(lián)系。比如，P到平面α距離，AB(這里P∈AB)與平面α所成的角，二面角α-l-β(這里P∈β)，首先要在平面α內(nèi)選定直線a，然后能作(或找)出直線a垂直于一個輔助平面θ，當(dāng)然要有P∈θ，這樣就有平面α⊥平面θ且設(shè)交線為b,最后就是過點P作交線b的垂線PH,就得到PH⊥平面α。要求點

其清晰思維流程可參考下圖：

下面我就求點面距、線面角、二面角問題通過三個例子作具體講解

例1已知AB⊥平面BCD,AB=2,CD=5,△BCD的面積為，求點B到平面ACD的距離。

解析：要過相關(guān)點B作平面ACD的垂線

首先在平面ACD內(nèi)現(xiàn)有的三條直線AC、AD、CD中選定CD,因為我們至少已知CD⊥AB且B∈AB;

然后過B作BE⊥CD于E，并連結(jié)AE，則CD⊥面ABE，于是就有面ABE⊥面ACD且交線為AE;

最后過相關(guān)點B作BH⊥AE，則BH⊥面ACD。

例2：如圖在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,AA1=5,試求B1D1與平面A1BCD1所成的角的正弦值。

解析：要作B1D1與平面A1BCD1所成的角，可考慮怎樣作出平面A1BCD1的垂線

在平面A1BCD1內(nèi)現(xiàn)有的四條直線A1B，BC，CD1，A1D1中選定A1D1(或BC)因為容易知道A1D1⊥面A1B1BA(不選A1D1⊥面D1C1CD)因為這里有相關(guān)點B1∈B1D1且B1∈A1B1BA。

于是得出面A1D1CB⊥面A1B1BA且交線為A1B;

最后過B1作交線A1B的垂線B1H，得到B1H⊥面A1BCD1，連結(jié)D1H，則∠B1DH為所求的線面角。

例3：在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點

(1)求證：CM⊥EM;

(2)求CM與平面CDE所成的角;

(3)求二面角M-EC-D的大小

解析：對于(3)求二面角M-EC-D時，選定面CEM還是面CDE作為中心平面呢?關(guān)鍵是看能否作出其所在平面的垂線，進一步說是看哪一個平面中有某一條直線垂直于第三個平面!因為CM⊥AB，于是有CM⊥面ABDE，可選定面CEM作為中心平面。這樣因為有CM⊥面ABDE，所以就有面DEM⊥面CEM且交線為EM。這里由于邊的關(guān)系，根據(jù)勾股定理的逆定理有EM⊥DM,所以到這里我們就找到一條直線DM與中心平面CEM垂直并且D∈面CDE。最后只需過M作MO⊥EC于點O,并連接DO,則∠DOM為所求二面角M-EC-D的平面角。

對于(3)也可試著把另一個平面CDE視作中心平面，設(shè)法作(或找)出其垂線即可。例如可按如圖(2)所提供的解法思考：因為CM⊥AB，于是有CM⊥面ABDE,可得CM⊥ED.過M作MF⊥ED,則DE⊥面CFM,我們就得到面CDE⊥面CFM且交線為CF,然后過M作MH⊥CF,那么MH⊥面CDE。最后過點M作MO⊥EC于點O,并連接HO,則∠HOM為所求二面角M-EC-D的平面角。

由以上論述，可見作好線面垂直在求解空間的距離和角時能起到事半功倍的效果，其中尤其把握好這兩點：一是確定中心平面α內(nèi)的直線a(如例1 中的CD);怎樣選定直線a呢?重要的一點就是看直線a是否和某些直線m(如例1中的AB)垂直,即充分利用已有的垂直關(guān)系。二是作(或找)出直線a垂直于另外一個平面，從而進一步達到最核心的一點，就是作出面面垂直。這里往往要盡量圍繞相關(guān)點P(如例1中的點B)再作一直線n(如例1中的BE)與直線a垂直,于是因為直線a垂直m、n，就得到直線a垂直平面θ。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/786625.html

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