數(shù)學(xué)物理學(xué)是以研究物理問題為目標的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對模型已確立的物理問題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來詮釋和預(yù)見物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實來修正原有模型。

物理問題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。作為近代物理學(xué)始點的牛頓力學(xué)中，質(zhì)點和剛體的運動用常微分方程來刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學(xué)中的重要數(shù)學(xué)問題。這種研究一直持續(xù)到今天。例如，天體力學(xué)中的三體問題和各種經(jīng)典的動力系統(tǒng)都是長期研究的對象。

在十八世紀中，牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)開始由變分原理所刻畫，這又促進了變分法的發(fā)展，并且到后來，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎(chǔ)。

十八世紀以來，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁場理論中，歸結(jié)出許多偏微分方程通稱數(shù)學(xué)物理方程(也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程)。直到二十世紀初期，數(shù)學(xué)物理方程的研究才成為數(shù)學(xué)物理的主要內(nèi)容。

此后，聯(lián)系于等離子體物理、固體物理、非線性光學(xué)、空間技術(shù)核技術(shù)等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問題出現(xiàn)，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問題等等。它們使數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容進一步豐富起來。復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)、變分法、調(diào)和分析、泛函分析以至于微分幾何、代數(shù)幾何都已是研究數(shù)學(xué)物理方程的有效工具。

從二十世紀開始，由于物理學(xué)內(nèi)容的更新，數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌。伴隨著對電磁理論和引力場的深入研究，人們的時空觀念發(fā)生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學(xué)成為愛因斯坦狹義相對論和廣義相對論所必需的數(shù)學(xué)理論。許多物理量以向量、張量和旋量作為表達形式在探討大范圍時空結(jié)構(gòu)時，還需要整體微分幾何。

量子力學(xué)和量子場論的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)物理添加了非常豐富的內(nèi)容。在量子力學(xué)中物質(zhì)的態(tài)用波函數(shù)刻畫，物理量成為算子，測量到的物理量是算子的譜。在量子場論中波函數(shù)又被二次量子化成為算子，在電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用中描述粒子的產(chǎn)生和消滅。

因此，必須研究各種函數(shù)空間的算子譜、函數(shù)的譜分析和由算子所形成的代數(shù)。同時還要研究微擾展開和重正化(處理發(fā)散困難)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，用非微擾方法研究非線性場論也是一個令人注目的課題。

物理對象中揭示出的多種多樣的對稱性，使得群論顯得非常有用。晶體的結(jié)構(gòu)就是由歐幾里得空間運動群的若干子群給出。正交群和洛倫茨群的各種表示對討論具有時空對稱性的許多物理問題有很重要的作用。

基本粒子之間 高中歷史，也有種種對稱性，可以按群論明確它們的某些關(guān)系。對基本粒子的內(nèi)在對稱性的研究更導(dǎo)致了楊-米爾斯理論的產(chǎn)生。它在粒子物理學(xué)中意義重大，統(tǒng)一了弱相互作用和電磁相互作用的理論，提供了研究強子結(jié)構(gòu)的工具。這個理論以規(guī)范勢為出發(fā)點，而它就是數(shù)學(xué)家所研究的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)(這是現(xiàn)代微分幾何學(xué)中非常重要的一個概念)。有關(guān)纖維叢的拓撲不變量也開始對物理學(xué)發(fā)揮作用。

微觀的物理對象往往有隨機性。在經(jīng)典的統(tǒng)計物理學(xué)中需要對各種隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律有深入的研究。

隨著電子計算機的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理中的許多問題可以通過數(shù)值計算來解決，由此發(fā)展起來的“計算力學(xué)”“計算物理”都發(fā)揮著越來越大的作用。計算機直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續(xù)獲得發(fā)展。

科學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容將越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。其他各門科學(xué)，如化學(xué)生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等也廣泛地利用數(shù)學(xué)模型來進行研究。數(shù)學(xué)物理中的許多方法和結(jié)果對這些研究發(fā)揮了很好的作用。

在工程科學(xué)中，處處需要精確地求解物理問題，所以數(shù)學(xué)物理對于技術(shù)進步也有非常重要的意義。此外，數(shù)學(xué)物理的研究對數(shù)學(xué)有很大的促進作用。它是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉。

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