數(shù)學(xué)物理學(xué)是以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。

物理問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。作為近代物理學(xué)始點(diǎn)的牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)用常微分方程來(lái)刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學(xué)中的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種研究一直持續(xù)到今天。例如，天體力學(xué)中的三體問(wèn)題和各種經(jīng)典的動(dòng)力系統(tǒng)都是長(zhǎng)期研究的對(duì)象。

在十八世紀(jì)中，牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)開始由變分原理所刻畫，這又促進(jìn)了變分法的發(fā)展，并且到后來(lái)，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎(chǔ)。

十八世紀(jì)以來(lái)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁場(chǎng)理論中，歸結(jié)出許多偏微分方程通稱數(shù)學(xué)物理方程(也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程)。直到二十世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)物理方程的研究才成為數(shù)學(xué)物理的主要內(nèi)容。

此后，聯(lián)系于等離子體物理、固體物理、非線性光學(xué)、空間技術(shù)核技術(shù)等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問(wèn)題出現(xiàn)，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問(wèn)題等等。它們使數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容進(jìn)一步豐富起來(lái)。復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)、變分法、調(diào)和分析、泛函分析以至于微分幾何、代數(shù)幾何都已是研究數(shù)學(xué)物理方程的有效工具。

從二十世紀(jì)開始，由于物理學(xué)內(nèi)容的更新，數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌。伴隨著對(duì)電磁理論和引力場(chǎng)的深入研究，人們的時(shí)空觀念發(fā)生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學(xué)成為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論所必需的數(shù)學(xué)理論。許多物理量以向量、張量和旋量作為表達(dá)形式在探討大范圍時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí)，還需要整體微分幾何。

量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)物理添加了非常豐富的內(nèi)容。在量子力學(xué)中物質(zhì)的態(tài)用波函數(shù)刻畫，物理量成為算子，測(cè)量到的物理量是算子的譜。在量子場(chǎng)論中波函數(shù)又被二次量子化成為算子，在電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用中描述粒子的產(chǎn)生和消滅。

因此，必須研究各種函數(shù)空間的算子譜、函數(shù)的譜分析和由算子所形成的代數(shù)。同時(shí)還要研究微擾展開和重正化(處理發(fā)散困難)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，用非微擾方法研究非線性場(chǎng)論也是一個(gè)令人注目的課題。

物理對(duì)象中揭示出的多種多樣的對(duì)稱性，使得群論顯得非常有用。晶體的結(jié)構(gòu)就是由歐幾里得空間運(yùn)動(dòng)群的若干子群給出。正交群和洛倫茨群的各種表示對(duì)討論具有時(shí)空對(duì)稱性的許多物理問(wèn)題有很重要的作用。

基本粒子之間 高中歷史，也有種種對(duì)稱性，可以按群論明確它們的某些關(guān)系。對(duì)基本粒子的內(nèi)在對(duì)稱性的研究更導(dǎo)致了楊-米爾斯理論的產(chǎn)生。它在粒子物理學(xué)中意義重大，統(tǒng)一了弱相互作用和電磁相互作用的理論，提供了研究強(qiáng)子結(jié)構(gòu)的工具。這個(gè)理論以規(guī)范勢(shì)為出發(fā)點(diǎn)，而它就是數(shù)學(xué)家所研究的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)(這是現(xiàn)代微分幾何學(xué)中非常重要的一個(gè)概念)。有關(guān)纖維叢的拓?fù)洳蛔兞恳查_始對(duì)物理學(xué)發(fā)揮作用。

微觀的物理對(duì)象往往有隨機(jī)性。在經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中需要對(duì)各種隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有深入的研究。

隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理中的許多問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)解決，由此發(fā)展起來(lái)的“計(jì)算力學(xué)”“計(jì)算物理”都發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。計(jì)算機(jī)直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續(xù)獲得發(fā)展。

科學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容將越來(lái)越豐富，解決物理問(wèn)題的能力也越來(lái)越強(qiáng)。其他各門科學(xué)，如化學(xué)生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等也廣泛地利用數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行研究。數(shù)學(xué)物理中的許多方法和結(jié)果對(duì)這些研究發(fā)揮了很好的作用。

在工程科學(xué)中，處處需要精確地求解物理問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)物理對(duì)于技術(shù)進(jìn)步也有非常重要的意義。此外，數(shù)學(xué)物理的研究對(duì)數(shù)學(xué)有很大的促進(jìn)作用。它是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的新思想、新對(duì)象、新問(wèn)題以及新方法的一個(gè)源泉。

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