定義:
設式子y=f(x)表示y是x的函數(shù),定義域為A,值域為C,從式子y=f(x)中解出x,得到式子x=(y),如果對于y在C中的任何一個值,通過式子x=
(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應,那么式子x=
(y)就表示y是x的函數(shù),這樣的函數(shù)叫做y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),即x=
(y)=f-1(y),一般對調(diào)x=f-1(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f-1(x)。
反函數(shù)的一些性質(zhì):
(1)反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域,稱為互調(diào)性;
(2)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且單調(diào)性相同(即函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上的單調(diào)性相同),對連續(xù)函數(shù)而言,只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù),但非連續(xù)的非單調(diào)函數(shù)也可能有反函數(shù);
(3)函數(shù)y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱,但要注意:函數(shù)y=f(x)的圖象與其反函數(shù)x=(y)=f-1(y)的圖象相同。(對稱性)
(4)設y=f(x)與y=g(x)互為反函數(shù),如果點(a,b)在函數(shù)y=f(x)的圖像上,那么點(b,a)在它的反函數(shù)y=g(x)的圖像上。
(5)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=f-1(x),函數(shù)y=f-1(x )的反函數(shù)是y=f(x),稱為互反性,但要特別注意;
(6)函數(shù)y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點,當它們是遞增時,交點在直線y=x上。當它們遞減時,交點可以不在直線y=x上,
如與
互為反函數(shù)且有一個交點是
,它不再直線y=x上。
(7)還原性:。
求反函數(shù)的步驟:
(1)將y=f(x)看成方程,解出x=f-1(y);
(2)將x,y互換得y =f-1(x);
(3)寫出反函數(shù)的定義域(可根據(jù)原函數(shù)的定義域或反函數(shù)的解析式確定);
另外:分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)再合成。
本文來自:逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/800277.html
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