一. 教學(xué)內(nèi)容：異面直線所成角及距離

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1. 異面直線所成角定義。

異面直線 、 ，過空間一點(diǎn)O作 ，直線 ， 所成的銳角（或直角）叫做異面直線 和2. 異面直線所成角的計算。

（1）平移其中一條或兩條使其相交。

（2）連接端點(diǎn)，使角在一個三角形中。

（3）計算三條邊長，用余弦定理計算余弦值。

（4）若余弦值為負(fù)，則取其相反數(shù)。

3. 公垂線。

與兩條異面直線均垂直、相交的直線叫兩條異面直線的公垂線，兩條異面直線的公垂線有且只有一條。

4. 兩條直線垂直。

（1）相交垂直 （2）異面垂直

5.

6. 兩條異面直線的公垂線段的長度，叫兩條異面直線的距離。

【典型例題】

異面直線所成的角與距離：

[例1] 正方體 ，對角線 。

① 異面直線 所成的角。

② 異面直線 的距離。

③ 異面直線 所成的角。

④ 異面直線 所成的角。

⑤ M、N為 所成角。

解：

① 與

③

④ 延長DC至E使CE=CD 中， ， ，AD=

∴ AE

⑤ MN//BD ∴ 所成角為 中， ，

∴

[例2] 四面體ABCD，棱長均為 （正四面體）

① 求異面直線AD、BC的距離。

② 求AC、BD所成的角。

③ E、F為BC、AD中點(diǎn)，求AE、CF所成角。

解：

① E、F為BC、AD中點(diǎn)，連AE、DE、BF、CF

F為等腰

② H為CD中點(diǎn)

EH//BD EH= FH//AC 為兩條異面直線AC、BD所成角

∴

∴ 中，E、F為AB、 、

證：H在 上，

∴ HF與 、 中， 、

[例4] P為 （

解：F為PC中點(diǎn)連EF

EF為PC、BE公垂線

∴ BE、PC距離為

【模擬】（答題時間：60分鐘）

1. 、 、 均垂直，則 、2. 已知異面直線 、 成 角，P為空間一點(diǎn)，則過P且與 、 所成角均為 的直線有（ ）

A. 2條 B. 3條 高中生物 C. 4條 D. 無數(shù)條

3. 空間直線 滿足（1）與 異面；（2）與 成 角；（3）與 距離為1；則這樣的4. 、 為 、 ， 與 、5. 空間四邊形ABCD棱長為 ，對角線也為 ，E為AD中點(diǎn)，AB與CE所成角為（ ）

A. C.

【試題答案】

1. D 2. B 3. D 4. D 5. C

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