唐宋時期對于實用算術的研究是一個相當活躍的領域，不少人積極從事籌算算法的改進尤其是籌算乘除法的簡化工作，并取得了一些重要的進展。如把籌算乘除需要擺放三層的擺法簡化為在一個橫列里演算，提出了求一、上驅、搭因、重因、增成、身外加減、損乘、九歸等等籌算乘除捷法，并且其中一些方法還被編成容易上口和便于記憶的歌訣形式。到了元代，這種簡化籌算乘除法的歌訣經(jīng)過不斷改進而更加簡練和完備。這一時期新編成的比較重要的歌訣有“化零歌”、“歸除歌訣”、“撞歸訣”、“起一訣”等，如朱世杰《算學啟蒙》記載有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五……”即
當時一斤等于十六兩，這個歌訣就是以斤化兩的算法。南宋楊輝也有斤價化兩價的歌訣：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五記……”顯然朱世杰的歌訣更為順口易記。《算學啟蒙》還記載了26句的“九歸”（除數(shù)為一位數(shù)的除法）歌訣，如“二一添作五，逢二進一十”，“三一三十一，三二六十二”等等，也比楊輝的九歸歌訣簡單明確。此外，在元代還很流行“歸除”，在做多位數(shù)除法時先“歸”后“減”，以簡化除法運算。賈亨《算法全能集》記有算法歌訣：“唯有歸除法更奇，將身歸了次除之。有歸若是無除數(shù)，起一回將原數(shù)施�；蛑当練w歸不得，撞歸之法莫教遲。若還識得中間法，算者并無差一厘”，其中提到的撞歸訣和起一訣也趨于完善。如《丁巨算法》（1355）提到的撞歸訣是“二歸撞歸九十二，三歸撞歸九十三……”，元末何平子《洋明算法》已將其改為“見二無除作九二，見三無除作九三……”等等。以上這些口訣與珠算的口訣已經(jīng)基本相同，只不過當時還是用于籌算而已。根據(jù)這些口訣作除法時，一念口訣便能立即得到商數(shù)。在這種情況下，只要熟練掌握口訣，具體計算本來可以變成相當簡便的事情，然而當時的計算工具卻還是那些不很便于取用的小竹條，因此手不應心的矛盾，也就是計算工具與計算方法的矛盾顯得更加突出了。由于社會經(jīng)濟的發(fā)展，迫切需要改進計算方法和計算工具，而籌算口訣的完備，已經(jīng)提供了更為簡便的計算方法，于是，一種嶄新的計算工具──珠算盤便應運而生了。
珠算是在我國籌算基礎上發(fā)展起來的，它的計算方法吸取了籌算方法，尤其是籌算口訣的產生和改進，對于從籌算向珠算的演變起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么時候產生，又是什么人創(chuàng)造的，根據(jù)現(xiàn)有史料還不能作出確切的回答。南北朝時期的《數(shù)術記遺》中記載了多種記數(shù)方法，其中的“珠算”并非后世的珠算，但是否對珠算的產生有所影響，則還須作更深入的研究。有人認為北宋張擇端《清明上河圖》里畫有一個算盤，但是原圖并不很清楚，難以確認是否為珠算盤。元中葉之后的一些文學和戲劇作品中已經(jīng)提到珠算。元末陶宗儀《輟耕錄》記載一條俗諺：“凡納婢仆，初來時，曰雷盤珠，言不撥自動。稍久，日算盤珠，言撥之則動。既久，日佛頂珠，言終日凝言，雖拔亦不動�！泵鞒蹩痰囊槐究磮D識字書《對相四言雜字》有算盤圖，共十檔，上二珠下五珠。這是目前發(fā)現(xiàn)最早的算盤圖。書中所繪人物服飾為元代式樣，由此可知該書原刊于元代。另一方面，南宋和元初的著名數(shù)學家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰等又都沒有提起過珠算。因此，珠算大約產生于元中葉以前不太久的時間。總的說來，正像我們不能確切說明籌算是什么時候產生又是什么人創(chuàng)造的一樣，這種情況恰恰說明珠算和籌算都不是哪一個個人創(chuàng)造發(fā)明的，而是社會經(jīng)濟發(fā)展的產物，是廣大勞動人民在長期的生產活動和日常生活中，根據(jù)實際需要創(chuàng)造出來并逐漸加以改進和完善的。珠算盤和珠算術的發(fā)明，是我國古代勞動人民作出的一項意義重大、影響深遠的突出貢獻。
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