唐宋時(shí)期對(duì)于實(shí)用算術(shù)的研究是一個(gè)相當(dāng)活躍的領(lǐng)域，不少人積極從事籌算算法的改進(jìn)尤其是籌算乘除法的簡(jiǎn)化工作，并取得了一些重要的進(jìn)展。如把籌算乘除需要擺放三層的擺法簡(jiǎn)化為在一個(gè)橫列里演算，提出了求一、上驅(qū)、搭因、重因、增成、身外加減、損乘、九歸等等籌算乘除捷法，并且其中一些方法還被編成容易上口和便于記憶的歌訣形式。到了元代，這種簡(jiǎn)化籌算乘除法的歌訣經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)而更加簡(jiǎn)練和完備。這一時(shí)期新編成的比較重要的歌訣有“化零歌”、“歸除歌訣”、“撞歸訣”、“起一訣”等，如朱世杰《算學(xué)啟蒙》記載有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五……”即
當(dāng)時(shí)一斤等于十六兩，這個(gè)歌訣就是以斤化兩的算法。南宋楊輝也有斤價(jià)化兩價(jià)的歌訣：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五記……”顯然朱世杰的歌訣更為順口易記�！端銓W(xué)啟蒙》還記載了26句的“九歸”（除數(shù)為一位數(shù)的除法）歌訣，如“二一添作五，逢二進(jìn)一十”，“三一三十一，三二六十二”等等，也比楊輝的九歸歌訣簡(jiǎn)單明確。此外，在元代還很流行“歸除”，在做多位數(shù)除法時(shí)先“歸”后“減”，以簡(jiǎn)化除法運(yùn)算。賈亨《算法全能集》記有算法歌訣：“唯有歸除法更奇，將身歸了次除之。有歸若是無(wú)除數(shù)，起一回將原數(shù)施�；蛑当練w歸不得，撞歸之法莫教遲。若還識(shí)得中間法，算者并無(wú)差一厘”，其中提到的撞歸訣和起一訣也趨于完善。如《丁巨算法》（1355）提到的撞歸訣是“二歸撞歸九十二，三歸撞歸九十三……”，元末何平子《洋明算法》已將其改為“見(jiàn)二無(wú)除作九二，見(jiàn)三無(wú)除作九三……”等等。以上這些口訣與珠算的口訣已經(jīng)基本相同，只不過(guò)當(dāng)時(shí)還是用于籌算而已。根據(jù)這些口訣作除法時(shí)，一念口訣便能立即得到商數(shù)。在這種情況下，只要熟練掌握口訣，具體計(jì)算本來(lái)可以變成相當(dāng)簡(jiǎn)便的事情，然而當(dāng)時(shí)的計(jì)算工具卻還是那些不很便于取用的小竹條，因此手不應(yīng)心的矛盾，也就是計(jì)算工具與計(jì)算方法的矛盾顯得更加突出了。由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，迫切需要改進(jìn)計(jì)算方法和計(jì)算工具，而籌算口訣的完備，已經(jīng)提供了更為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，于是，一種嶄新的計(jì)算工具──珠算盤(pán)便應(yīng)運(yùn)而生了。
珠算是在我國(guó)籌算基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，它的計(jì)算方法吸取了籌算方法，尤其是籌算口訣的產(chǎn)生和改進(jìn)，對(duì)于從籌算向珠算的演變起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么時(shí)候產(chǎn)生，又是什么人創(chuàng)造的，根據(jù)現(xiàn)有史料還不能作出確切的回答。南北朝時(shí)期的《數(shù)術(shù)記遺》中記載了多種記數(shù)方法，其中的“珠算”并非后世的珠算，但是否對(duì)珠算的產(chǎn)生有所影響，則還須作更深入的研究。有人認(rèn)為北宋張擇端《清明上河圖》里畫(huà)有一個(gè)算盤(pán)，但是原圖并不很清楚，難以確認(rèn)是否為珠算盤(pán)。元中葉之后的一些文學(xué)和戲劇作品中已經(jīng)提到珠算。元末陶宗儀《輟耕錄》記載一條俗諺：“凡納婢仆，初來(lái)時(shí)，曰雷盤(pán)珠，言不撥自動(dòng)。稍久，日算盤(pán)珠，言撥之則動(dòng)。既久，日佛頂珠，言終日凝言，雖拔亦不動(dòng)�！泵鞒蹩痰囊槐究磮D識(shí)字書(shū)《對(duì)相四言雜字》有算盤(pán)圖，共十檔，上二珠下五珠。這是目前發(fā)現(xiàn)最早的算盤(pán)圖。書(shū)中所繪人物服飾為元代式樣，由此可知該書(shū)原刊于元代。另一方面，南宋和元初的著名數(shù)學(xué)家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰等又都沒(méi)有提起過(guò)珠算。因此，珠算大約產(chǎn)生于元中葉以前不太久的時(shí)間�？偟恼f(shuō)來(lái)，正像我們不能確切說(shuō)明籌算是什么時(shí)候產(chǎn)生又是什么人創(chuàng)造的一樣，這種情況恰恰說(shuō)明珠算和籌算都不是哪一個(gè)個(gè)人創(chuàng)造發(fā)明的，而是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的產(chǎn)物，是廣大勞動(dòng)人民在長(zhǎng)期的生產(chǎn)活動(dòng)和日常生活中，根據(jù)實(shí)際需要?jiǎng)?chuàng)造出來(lái)并逐漸加以改進(jìn)和完善的。珠算盤(pán)和珠算術(shù)的發(fā)明，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民作出的一項(xiàng)意義重大、影響深遠(yuǎn)的突出貢獻(xiàn)。
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