德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（1862～1943）是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。他在1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學(xué)派的創(chuàng)始人。1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。在講演中，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢，以卓越的遠(yuǎn)見和非凡的洞察力，提出了新世紀(jì)所面臨的23個問題。這23個問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分重要領(lǐng)域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀(jì)各個數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。
本文介紹關(guān)于希爾伯特青年時代的兩個小故事。
一、老師在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推
1880年秋天，18歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他學(xué)習(xí)法律的愿望，毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時的大學(xué)，數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）。希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時的大學(xué)生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時光都花費在學(xué)生互助會的傳統(tǒng)活動飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了。
大學(xué)的第一學(xué)期，希爾伯特選學(xué)了積分學(xué)，矩陣論和曲面的曲率論三門課。根據(jù)規(guī)定。第二學(xué)期可以轉(zhuǎn)到另一所大學(xué)聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學(xué)，這是當(dāng)時德國所有大學(xué)中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學(xué)校。希爾伯特在海德爾堡大學(xué)選聽拉撒路·富克斯的課。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語。他講課確實與眾不同，給人的印象很深。課前他不大做準(zhǔn)備，對要講的內(nèi)容，在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推。于是常常發(fā)生這樣的情形，某個問題在黑板上推不下去了，這時他就再想另外一種方法，有時一連要換好幾種方法，但他最后總能推導(dǎo)出結(jié)果來。他就是這樣，習(xí)慣于在課堂上把自己置于危險的境地。這樣的課學(xué)生們?nèi)绾慰茨�？他的一位學(xué)生后來回憶時寫道：這樣的課，使學(xué)生們“得到一個機(jī)會，瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實際過程�！蔽覀兛梢韵胂�，善于思考和學(xué)習(xí)的希爾伯特肯定會從中領(lǐng)悟到一個數(shù)學(xué)家是如何思考問題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無論如何是看不到的。把思考問題的實際過程展現(xiàn)給學(xué)生看，這樣做實際上是非常富于啟發(fā)性的。我國著名的數(shù)學(xué)方法論專家徐利治教授認(rèn)為這一點對希爾伯特的成長肯定起過很好的作用。我想這一點對我們今天也很有啟發(fā)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)會這道題的解法，而且更要學(xué)會這個解法是如何找到的。即學(xué)會思考。
二、蘋果樹下的例行出步
希爾伯特在海德爾堡上了一學(xué)期以后，接下來的一個學(xué)期，本來可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉(xiāng)，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)。再下一個學(xué)期──1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡。
這時赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學(xué)習(xí)了三個學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)。閩可夫斯基從小就數(shù)學(xué)才能出眾，據(jù)說有一次上數(shù)學(xué)課，老師因把問題理解錯了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時，他因為出色的數(shù)學(xué)工作曾得到過一筆獎金。這時，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深奧的研究之中──解巴黎科學(xué)院出榜征解的一個問題：把一個數(shù)表成五個平方數(shù)的和。一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著名的數(shù)學(xué)家史密斯共享巴黎科學(xué)院的這項大獎。這件事轟動了整個哥尼斯堡。希爾伯特的父親因此曾告
誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友。但由于對數(shù)學(xué)的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友。
1884年春天，年輕的數(shù)學(xué)家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個年輕人每天下午準(zhǔn)5點必定相會去蘋果樹下散步。希爾伯特后來回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃�！痹谒麄�?nèi)酥�，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當(dāng)然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當(dāng)時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學(xué)習(xí)方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的“每一個角落”，考察著數(shù)學(xué)世界的每一個王國 高三，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠(yuǎn)！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼�！�
正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長發(fā)展也起了十分重要的作用，可以想見那段時間是希爾伯特才、學(xué)、識獲得迅速成長的重要階段，假如沒有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領(lǐng)域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了。
有關(guān)希爾伯特散步的這個小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動以外，師生在課外的交流以及同學(xué)間的課外交流，也是一種重要的學(xué)習(xí)方式，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有益。而且，在散步中交流因為沒有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導(dǎo)和計算，只能交談那些能用話“說出來”的東西，即對問題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統(tǒng)帥形式推導(dǎo)的靈魂，......而這些對學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要。同學(xué)們不妨經(jīng)常邀幾位要好的同學(xué)一起散步交談，肯定會其樂無究的�！�
多考資料；
�。�1）康斯坦斯·瑞德著《希爾伯特》，上�？萍汲霭嫔�，1982年。
（2）徐利治著《數(shù)學(xué)方法論選講》（第二版），武漢：華中工學(xué)院出版社，1988年。
選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年8月上
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