三、解答題

12.(2009浙江文)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．

⑴求及；

⑵若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．

考查目的：考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和以及它們之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的概念以及運(yùn)算求解能力.

答案：⑴，；⑵或.

解析：⑴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.而也適合上式，所以.

⑵∵，，成等比數(shù)列，∴，即，化簡(jiǎn)并整理得. ∵此式對(duì)成立，∴或.

 

 

13.(2010全國卷Ⅱ文)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.

⑴求的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

考查目的：考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式、方程與方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

答案：⑴.⑵.

解析：⑴設(shè)的公比為，則.由已知，有 ，

化簡(jiǎn)得，解得，(舍去)，所以.

⑵由⑴知，所以 .

 

 

14.(2008湖南理)數(shù)列滿足

⑴求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，.

考查目的：考查數(shù)列遞推公式的運(yùn)用、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和、不等式證明的基本方法，以及分析問題解決問題的能力.

答案：⑴，，；⑵略.

解析：⑴∵，，∴，.

一般地，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此.

當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此.

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

⑵由⑴知，，①，②，得，，∴.

要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.

證明：要證明，只需證明.令，則

，∴當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，.于是當(dāng)時(shí)，.

 

 

15.(2012廣東理)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 高考，滿足，且，，成等差數(shù)列．

⑴求的值；

⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑶證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．

考查目的：考查數(shù)列和不等式的概念及其性質(zhì)、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列遞推公式的運(yùn)用、不等式放縮等基本方法，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題的能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

答案：⑴；⑵；⑶略.

解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.

⑵由，得.又∵也滿足，∴成立，∴，∴，∴. 

⑶(法一)∵，∴，

∴.

(法二)∵，∴，當(dāng)時(shí)，，，，…，，累乘得，

∴.

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