章建躍
增效減負、提高質(zhì)量是數(shù)學教學的基本追求。廣大數(shù)學教師對這個問題的研究，大多集中在如何提高解題教學的有效性上。許多老師給出的答案是：選擇“牽一發(fā)而動全身”的題目，先引導學生“一題多解”，再讓學生進行反思，總結(jié)解題的方法，找出其中的規(guī)律，再對題目進行變式、推廣和拓展，使學生掌握解決“這一類”問題的方法，從而實現(xiàn)“解一題，通一類”的目的。他們都以波利亞的下列論述為支撐：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域�！�
值得注意的是，絕大多數(shù)老師都是“二傳手”，自己并沒有真正讀過原著，對“有意義的但又不復雜的題目”到底指什么并沒有直接感受，這樣可能造成理解偏差。我查閱了波利亞的《怎樣解題》，沒有發(fā)現(xiàn)這段論述（也許在他的別的著作中，希望知道的老師告訴我）。但無論怎樣，“從一個題目出發(fā)……把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域”確實是一個好想法，我認為其中體現(xiàn)了“解題教學要有整體觀，要體現(xiàn)數(shù)學的整體性”的思想�！巴诰騿栴}的各個方面”實際上是要求關(guān)注問題所涉及的不同數(shù)學知識及其內(nèi)在的一致性、聯(lián)系性，從問題的發(fā)展中找到數(shù)學知識的生長點，從而把學生引入“一個完整的理論領(lǐng)域”。顯然，波利亞提出的做法是“從具體到抽象，從特殊到一般”，是一種歸納的方法。必須注意到的是，他心目中的真正目標是那個“完整的理論領(lǐng)域”，“題目的挖掘”只是手段而已。所以，僅就解題教學而言，“解一題，通一類”的想法，關(guān)注的只是“這一類題目”，往往把目標局限在“這一類題目怎么解，有多少不同的解法”，與“完整的理論領(lǐng)域”相去甚遠，因此并不是波利亞的本意，至少不是他的主要想法。
對解題教學，注重數(shù)學的整體性很重要。但從“以培育學生的理性精神、發(fā)展學生的邏輯思維能力為核心，使學生在掌握數(shù)學知識、學會數(shù)學思考的過程中，成為善于認識問題、解決問題的人才”的要求出發(fā)，更重要的是要在數(shù)學概念、定理、公式、法則……的教學中樹立“整體觀”。這是因為數(shù)學基礎(chǔ)知識中蘊含的數(shù)學思想更加本質(zhì)，體現(xiàn)的思考方法更加基本，適用范圍更廣，遷移能力更強。例如，“代數(shù)的根本在于數(shù)的運算和運算律”。因此，代數(shù)的教學，無論是數(shù)、式、方程、不等式，還是向量，都應(yīng)強調(diào)從運算的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，這就是“代數(shù)的整體性”。而在具體對象的研究中，則要遵循“定義??表示??性質(zhì)、公式、法則……”的“基本套路”。例如，等差數(shù)列的研究中：
首先要給定義，即回答“什么叫等差數(shù)列”。從名稱就可以想到，這類數(shù)列的本質(zhì)特征就是“施行減法運算所得的‘差相等’”，稍作細化就可以得到定義。
然后是表示等差數(shù)列。an=a1+(n－1)d實際上是“從定義出發(fā)”得到的代數(shù)表達式，具有普遍意義；其中的a1，d是數(shù)列的“基本量”；它可以有an=am+(n－m)d等多種變式；幾何表示則是均勻落在一條射線上的點，這條射線的起點是（1，a1），斜率是d；等等。
接著研究性質(zhì)。這里主要考察“運算中的不變性、規(guī)律性”，以及對“特例”的研究。例如，“當n+m=p+q時，有an+am=ap+aq”就是從運算入手的；其特例則是a，b，c成等差數(shù)列時有2b=a+c。
等差數(shù)列的前n項和公式，也是等差數(shù)列的一個特有性質(zhì)，其基本思想是“用基本量表示”：Sn=a1+a2+…+an=na1+[1+2+…+(n－1)d]=na1+d，而它又可以看成是1+2+…+n=的一般推廣。當然，它也是從等差數(shù)列性質(zhì)推出的一個結(jié)果：利用“如果n+m=p+q，則an+am=ap+aq”，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，這是等差數(shù)列特有的方法。
上述研究中，注重了“運算”的核心作用，強調(diào)了研究問題的“基本套路”，用數(shù)形聯(lián)系的觀點看問題，注意從概念出發(fā)思考問題，特殊與一般相互轉(zhuǎn)化，以及通過對基本性質(zhì)的變式、推廣等深化認識等等，所有這些都與“數(shù)學的整體性”緊密相關(guān)，與解答一些特定題目相比，在提高學生認識和解決問題能力上發(fā)揮的作用更大。
-02-21人教網(wǎng)
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