高中數(shù)學(xué)漫談：隨機數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，概率和統(tǒng)計的歷史可以追溯到遙遠的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛型。但是概率論作為一門學(xué)科，則醞釀于16世紀前后的兩百余年之間，產(chǎn)生于17世紀中期前后。它的起源與一個所謂的點數(shù)問題有關(guān)。這個著名的問題是：兩個技巧相當(dāng)?shù)馁�徒對局，他們知道怎樣的比分賭局終止，也知道取勝所要求的點數(shù)，問應(yīng)該怎樣來分配他們的賭注。帕喬利（F.L.Pacioli）在他的《算術(shù)，幾何，比例和比值要義》（1494年）一書中，首次把點數(shù)問題寫入數(shù)學(xué)著作中。直到1654年以前這個問題沒有解決。1654年一個賭徒默勒（C.Méré）向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise.Pascal）提出了這個問題，帕斯卡對此問題極有興趣，他寫信同費爾馬討論。于是兩位數(shù)學(xué)家通過信件進行討論，并且各自獨立解決了這個問題。

我們用例子來說明兩位數(shù)學(xué)家的討論。在兩個賭徒A和B之間進行賭博，規(guī)則規(guī)定，兩人之間進行若干局比賽，如果A先取得2局勝利，則A獲勝；如果B先取得3局勝利，則B獲勝，問應(yīng)該如何來分配賭注。費爾馬對這個問題的解法比較簡單和直接，而帕斯卡的解法則比較精致和便于推廣。

很顯然，在這個例子中只需進行4局賭博就能決出勝負。費爾馬用a表示A取勝的比賽，用b表示B取勝的比賽；然后考慮a，b兩種字母每次取四個的16種可能的排列：

aaaa baaa abaa aaba aaab bbaa baba baab

abba abab aabb bbba bbab babb abbb bbbb

其中，a出現(xiàn)2次或多于2次的情況是有利于A，這種情況共11種；而b出現(xiàn)3次或多于3次的情況是有利于B，這種情況共5種。因此，賭注應(yīng)按11：5來分配。推廣至一般情形，如果A要在m局取勝，B要在n局取勝，則兩種字母a和b每次取m+n-1個的可能的排列為2m+n-1種。這樣就可求出a出現(xiàn)m次或多于m次的情況為a種和b出現(xiàn)n次或多于n次的情況為b種，而賭注也就應(yīng)按a：b來分配。

帕斯卡是利用其于1665年發(fā)表的論文《三角陣算術(shù)》中討論過的一種數(shù)陣──“算術(shù)三角形”（稱之為帕斯卡三角形）來解這個問題。這種算術(shù)三角形（見下圖）。數(shù)陣中從第二行起任何元素都是由上一行這個元素正上面的元素加上這個元素左面的元素而得到。

任意階三角形都可通過畫一對角線得到（見上圖），沿著對角線的數(shù)恰好是二項式系數(shù)。例如，沿第五條對角線的數(shù)，即1，4，6，4，1是（a+b）4展開式中各項的系數(shù)。帕斯卡用它來求出從幾件物品中一次取r件的組合數(shù)，他正確地表述為,其中n!=n（n-1）（n-2）×……×3×2×1。所以沿第五條對角線的數(shù)C（4,4）=1，C（4,3）=4，C（4,2）=6，C（4,1）=4，C（4,0）=1，它們的含義分別是a出現(xiàn)四次、三次、二次、一次和0次的方法數(shù)。因此點數(shù)問題的解[C（4,4）+C（4,3）+C（4,2）]：[C（4,1）+C（4,0）]=11：5。

一般情況，如果A要在m局取勝，B要在n局取勝，那么就可選擇第m+n條帕斯卡三角形的對角線，并求出這條對角線上前n個元素的和a與后m個元素的和b,高一。則賭注應(yīng)按a：b來分配。

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