一、教材分析
教材的地位和作用
期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊。同時(shí)，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望的概念及其實(shí)際含義。
難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量期望的實(shí)際應(yīng)用。
[理論依據(jù)] 本課是一節(jié)概念新授課，而概念本身具有一定的抽象性，學(xué)生難以理解，因此把對離散性隨機(jī)變量期望的概念的教學(xué)作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。此外，學(xué)生初次應(yīng)用概念解決實(shí)際問題也較為困難，故把其作為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。
二、教學(xué)目標(biāo)
[知識(shí)與技能目標(biāo)]
通過實(shí)例，讓學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量期望的概念，了解其實(shí)際含義。
會(huì)計(jì)算簡單的離散型隨機(jī)變量的期望，并解決一些實(shí)際問題。
[過程與方法目標(biāo)]
經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般的思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等合情推理能力。
通過實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力和學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。
[情感與態(tài)度目標(biāo)]
通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度。在學(xué)生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實(shí)現(xiàn)自我的價(jià)值。
三、教法選擇
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法
四、學(xué)法指導(dǎo)
“授之以魚，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。
五、教學(xué)的基本流程設(shè)計(jì)
六、教學(xué)過程
教學(xué)內(nèi)容
設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)
設(shè)
情
境
引
入
新
課
[情境一]
某商場要將單價(jià)分別為18，24，36 的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對混合糖果定價(jià)才合理？
[情境二]
若此商場經(jīng)理打算在國慶節(jié)那天在商場外舉行促銷活動(dòng)，如果不遇到雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益10萬元，如果遇到雨天則要損失4萬元，據(jù)9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國慶節(jié)那天有雨的概率是40%，則此商場平均可獲得經(jīng)濟(jì)效益多少元？
[情境一]和[情境二]中的問題所涉及的是生活中常見的一種商業(yè)現(xiàn)象，問題的生活化可激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲望，同樣這樣的問題也影響學(xué)生的思維方式，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的視野關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)。
建
構(gòu)
概
念
學(xué)生在未學(xué)習(xí)期望的概念之前解法可能如下：
[情境一]解答：
根據(jù)混合糖果中3種糖果的比例可知在1kg的混合糖果中，3種糖果的質(zhì)量分別是kg， kg和kg，則混合糖果的合理價(jià)格應(yīng)該是18×+24×+36×=23（）
[情境二]解答：
商場平均可獲經(jīng)濟(jì)效益為10×0.6-4×0.4=4.4(萬元)
為了將兩個(gè)式子中的數(shù)字與隨機(jī)變量的取值及其概率建立關(guān)系，歸納出期望的定義。
接著引導(dǎo)學(xué)生分析[情境一]
∵混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等
∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的單價(jià)為18，24或36的概率分別為，和，若用表示這顆糖果的價(jià)格，則每千克混合糖果的合理價(jià)格表示為
18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）
分析[情境二]得
商場平均可獲經(jīng)濟(jì)效益為10×P（=10）+（-4）×P（=-4）
這兩個(gè)問題的解決將為歸納出期望的定義作鋪墊。
細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)以上兩式從形式上具有某種相似性，通過比較，歸納出離散型隨機(jī)變量期望的定義。
歸納是一種重要的推理方法，由具體結(jié)論歸納概括出定義能使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)升華到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知方法。
比較兩式、歸納定義
一般地,若離散型隨機(jī)變量的概率分布為
…
…
…
…
則稱
為的數(shù)學(xué)期望或均值,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。
用文字語言描述抽象的數(shù)學(xué)公式
E=·+·+…+·+…
即：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望即為隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加。
加深公式記憶
理
解
概
念
練習(xí)1：離散型隨機(jī)變量的概率分布
1
100
P
0.01
0.99
① 求可能取值的算術(shù)平均數(shù)。
② 求的期望。
解答如下
①、可能取值的算術(shù)平均數(shù)為
②、E=1×0.01+100×0.99=99.01
練習(xí)2：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的期望。
結(jié)論：
若
則E=×+×+…+×
=
練習(xí)3：籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球中得1分，罰不中得0分。已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分的均值是多少？
當(dāng)學(xué)生求得E=0.7后，
提出問題：均值為0.7分的含義是什么？
（讓學(xué)生理解所求得的E=0.7即為罰球1次平均得0.7分.我們也說他只能期望得0.7分.）
練習(xí)4:甲、乙兩名射手一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與,且，的分布列為
1
2
3
P
0.3
0.1
0.6
1
2
3
P
0.3
0.4
0.3
兩人的技術(shù)情況如何? 請解釋你所得結(jié)論的實(shí)際含義?
弄清數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提，為了加深學(xué)生對概念的理解，設(shè)置以下4道練習(xí)。
其中練習(xí)1是為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解期望是反映隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。
所設(shè)置的兩個(gè)問題將學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)而集中到對解題過程的分析，求得答案，進(jìn)而通過對比，發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)結(jié)論
①、隨機(jī)變量相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)并不能真正體現(xiàn)的期望。因?yàn)槿≈?00的概率比取值1的概率大得多。
②、隨機(jī)變量取值的算術(shù)平均數(shù)即為時(shí)的期望。
練習(xí)2與結(jié)論②相統(tǒng)一，更進(jìn)一步說明取不同數(shù)值時(shí)的概率都相等時(shí)，隨機(jī)變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)相等。
高一;
這兩道練習(xí)都是為了進(jìn)一步理解期望的含義。
注意事項(xiàng)
①、 區(qū)別與E
隨機(jī)變量是可變的，可取不同的值。
而期望E是不變的，由的分布列唯一確定，所以稱之為概率分布的數(shù)學(xué)期望，它反映了取值的平均水平。
②、 區(qū)別隨即機(jī)變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。
期望表示隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。
實(shí)
際
應(yīng)
用
例1：有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15? 。對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽到次品，但抽查次數(shù)最多不超過10次。求抽查次數(shù)的期望。
教師強(qiáng)調(diào)：一般地，在產(chǎn)品抽查中已說明產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)，各次抽查結(jié)果可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的。
解題中注意：取1～10的整數(shù)，前k-1次取到正品，而第k次取到次品的概率是P（=k）=
（k=1，2，3，…,9）
P（=10）=
解完此例題后歸納求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：
①、 確定離散型隨機(jī)變量的取值。
②、 寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。
③、求出期望。
例2：目前由于各種原因，許多人選擇租車代步，租車行業(yè)生意十分興隆，但由于租車者以新手居多，車輛受損事故頻頻發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計(jì)，一年中一輛車受損的概率為0.03。現(xiàn)保險(xiǎn)公司擬開設(shè)一年期租車保險(xiǎn),一輛車一年的保費(fèi)為1000元,若在一年內(nèi)該車受損,則保險(xiǎn)公司需賠償3000元。
① 一年內(nèi)，一輛車保險(xiǎn)公司平均收益多少？
② 一輛車一年的保險(xiǎn)費(fèi)為1000元，若在一年內(nèi)該車受損,則保險(xiǎn)公司需賠償元，一年中一輛車受損的概率為0.03，則賠償金至少定為多少元，保險(xiǎn)公司才不虧本?
③ 若一輛車一年的保險(xiǎn)費(fèi)為元，若在一年內(nèi)該車受損,則保險(xiǎn)公司需賠償元，一年中一輛車受損的概率為，則,，應(yīng)滿足什么關(guān)系，保險(xiǎn)公司方可盈利。
解法一：
每輛車每年保險(xiǎn)公司平均獲利=保險(xiǎn)費(fèi)-賠償費(fèi)
當(dāng)平均獲利＞0時(shí)保險(xiǎn)公司方可盈利。
故 即時(shí)方可盈利。
解法二：
設(shè)表示盈利數(shù)，則隨機(jī)變量的分布列為
∴E= = 即時(shí)方可盈利。
生活中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識(shí),數(shù)學(xué)知識(shí)又能解決生活中的問題。兩道例題與生活密切聯(lián)系,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活及社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。
相對問題3，將具體問題數(shù)字化。
解法二回歸概念本質(zhì)，緊扣應(yīng)用概念解決實(shí)際問題。
歸
納
總
結(jié)
你有哪些收獲？
一個(gè)概念，兩個(gè)注意，三個(gè)步驟。
讓學(xué)生知道理解概念是關(guān)鍵，掌握公式是前提，實(shí)際應(yīng)用是深化。
小結(jié)除了注重知識(shí)，還注重引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法的總結(jié)，可切實(shí)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣。
作業(yè)
基礎(chǔ)題、課后探究題
七、評價(jià)分析
1、評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)過程
本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè)，例題設(shè)置中注重與實(shí)際生活聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)中注意觀察學(xué)生是否置身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，是否精神飽滿、興趣濃厚、探究積極，并愿意與老師、同伴交流自己的想法。
2、評價(jià)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力
教學(xué)中通過學(xué)生回答問題，學(xué)生舉例，歸納總結(jié)等方面反饋學(xué)生對知識(shí)的理解、運(yùn)用，教師根據(jù)反饋信息適時(shí)點(diǎn)撥，同時(shí)從新課標(biāo)評價(jià)理念出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)、充分質(zhì)疑，并抓住學(xué)生在語言、思想等方面的的亮點(diǎn)給予表揚(yáng)，樹立自信心，幫助他們積極向上。
教學(xué)設(shè)計(jì)“說明”
本節(jié)的教學(xué)有如下特點(diǎn)：
�。�1）、注重情境創(chuàng)設(shè)，聯(lián)系生活實(shí)際，關(guān)注身邊數(shù)學(xué)。
�。�2）、期望概念的教學(xué)是本節(jié)課的重點(diǎn)，本節(jié)突出概念的建構(gòu)，通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析，并歸納出定義；通過練習(xí)，層層遞進(jìn)，加深學(xué)生對概念的理解，幫助學(xué)生把握概念的本質(zhì)特征，使學(xué)生的思維活起來；通過例題分析，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)期望的意義。本節(jié)課以現(xiàn)實(shí)問題引入，以生活中的實(shí)例結(jié)束，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/93975.html
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