有一些數(shù)學(xué)問題,例如操作問題、邏輯推理問題等,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解;還有一些實(shí)際問題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質(zhì),其本身與數(shù)量無關(guān),也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解。人們習(xí)慣上將上述的這類問題稱為非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題近年來在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實(shí)際問題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關(guān)注。
非常規(guī)數(shù)學(xué)問題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例子作一探討。
1圖解法
例1(柳卡問題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約,同時(shí)也有一艘輪船由紐約開往哈佛,航行時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?
這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間,法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數(shù)學(xué)家通過下面的圖解法,才使問題最終得到解決。
這種方法是:用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。
值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問題的一種簡(jiǎn)單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來解決這一類型的問題,請(qǐng)看下例:
例2某路電車,由Ａ站開往Ｂ站,每5分鐘發(fā)一輛車,全程為20分鐘。有一人騎車從Ｂ站到Ａ站,在他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車進(jìn)站,當(dāng)他到達(dá)Ａ站時(shí)又恰有一輛電車出站,問:
(1)若騎車人在中途共遇到對(duì)面開來的10輛電車,則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)Ａ站?
(2)如果騎車人由Ｂ站到Ａ站共用50分鐘時(shí)間,則他一共遇到多少輛迎面開來的電車?
(3)若騎車人同某輛電車同時(shí)出發(fā)由Ａ站返回Ｂ站,騎車人用40分鐘到達(dá)Ｂ站時(shí)也恰有一輛電車進(jìn)站,問在中途有多少輛電車超過他?
解:仿柳卡問題圖解法,畫出下面的圖:
由圖可知:(1)騎車人從Ｂ站總共遇到12輛從對(duì)面開來的電車到達(dá)Ａ站所用的時(shí)間,恰好等于Ａ站開出7輛車的時(shí)間,即35分鐘。
(2)若騎車人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛電車。
(3)由上到下畫一條斜線(由0到8)即表示騎車人由Ａ站出發(fā)40分鐘后到達(dá)Ｂ站,可見中途共有3輛電車超過他。
2賦值法
賦值法解題,是對(duì)本身與數(shù)量無關(guān)的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討論,使問題得以解決。
例3在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。
解因?yàn)橹挥泻诎變缮遄?所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1?1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1?(-1)=(-1)?1=-1,因此,這樣賦值后就將原來的問題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問題。
將圓周上的4枚棋子依次記為ｘ1、ｘ2、ｘ3、ｘ4(繼續(xù)數(shù)下去記ｘ5=ｘ1,ｘ6=ｘ2……)按上面的賦值方法可知:
�。�2ｉ=1,ｘｉｘｉ+1=1ｘｉ與ｘｉ+1同色-1ｘｉ與ｘｉ+1異色
這樣,判斷在ｘｉ與ｘｉ+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由ｘｉ?ｘｉ+1的乘積符號(hào)的正、負(fù)來確定;乘積為+1時(shí)放黑子,為-1時(shí)放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號(hào)列成下表:(將圓周上的棋子排在直線上)
由上表可見,經(jīng)第4次操作后,符號(hào)皆為正,故4枚棋子都應(yīng)放黑子。
用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,一般情況下,若圓周上原來擺著2ｎ枚棋子,最多操作2ｎ次后一定全剩下黑子。
例4有11只杯子都口朝上放著,然后將它們?nèi)我夥紨?shù)只算一次操作(翻過的也可以再翻)。證明:無論操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。
解將口朝上的杯子記為1,口朝下的記為-1,然后計(jì)算每操作一次后11只杯子乘積的正負(fù)號(hào):
開始,11只杯子都口朝上,所以乘積的符號(hào)為:111=1。
當(dāng)翻動(dòng)ｎ個(gè)杯子(ｎ為偶數(shù)且ｎ≤10)使其口朝下時(shí),乘積的符號(hào)為:
111-ｎ?(-1)ｎ=1?1=1
繼續(xù)討論可知,無論ｎ是小于11的什么偶數(shù),乘積的正負(fù)號(hào)均為正,而11只杯子都口朝下時(shí),乘積為(-1)11=-1,故不可能辦到。
本問題的一般結(jié)論是:奇數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)偶數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)奇數(shù)個(gè),都不能使所有杯子都口朝下。
3抽屜原理抽屜原理是證明“存在性”問題的有力工具,其最基本形式是:將ｎ+1(或更多)個(gè)元素任意放入ｎ個(gè)抽屜中,則至少有一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)(或更多)元素。抽屜原理的正確性簡(jiǎn)單而顯然,但具體運(yùn)用并不容易,困難之處在于怎樣設(shè)置抽屜,把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽屜原理問題。
例5世界上任意6個(gè)人中,總有3個(gè)人,或彼此都認(rèn)識(shí),或彼此都不認(rèn)識(shí)。
這是有名的Ｒａｍｓｅｙ問題,要用抽屜原理來解。
對(duì)6個(gè)人中的任一個(gè)人,不妨設(shè)為Ａ來說,除Ａ外的其余5人可分為同Ａ相識(shí)或不同Ａ相識(shí)兩類(即兩個(gè)抽屜),由抽屜原理可知,至少有一類中至少有3個(gè)人。分別討論如下:
如果同Ａ都認(rèn)識(shí)的那一類中至少有3人,若有3人互相都不認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立;否則至少有兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí),而這兩人又都同Ａ認(rèn)識(shí),故有3人互相認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。
如果同Ａ都不認(rèn)識(shí)的那一類中至少有3人,若其中有3人互相認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立;否則,至少有兩人彼此不認(rèn)識(shí),但這二人又都與Ａ互不認(rèn)識(shí),故這時(shí)有3人互相不認(rèn)識(shí),結(jié)論也成立。
此問題也可以用染色法來證明:
在平面上用Ａ1,Ａ2………Ａ6來代表6個(gè)人,設(shè)它們無三點(diǎn)共線。將互相認(rèn)識(shí)的兩人連一條紅線,否則連一條藍(lán)線。問題就轉(zhuǎn)化為:在這15條連線中要證明至少有一個(gè)同顏色的三角形。
證明:考慮由Ａ1出發(fā)的5條線,因?yàn)橹挥屑t、藍(lán)兩種顏色(兩個(gè)抽屜),所以至少有3條為同色,不妨設(shè)Ａ1Ａ2、Ａ1Ａ3、Ａ1Ａ4為紅色。其次,再考慮△Ａ2Ａ3Ａ4三邊的顏色,若均為藍(lán)色則結(jié)論成立(此三人互相不認(rèn)識(shí));否則,至少有一條邊為紅色,例如Ａ2Ａ3,則△Ａ1Ａ2Ａ3的三邊都為紅色,結(jié)論也成立(此三人彼此都認(rèn)識(shí))。
例6已知某學(xué)者在五年期間內(nèi)每月至少發(fā)表一篇文章,又知他每年至多發(fā)19篇,則可得結(jié)論:他必在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰好發(fā)文24篇,試證明之。
解設(shè)此人在5年內(nèi)(60個(gè)月)每月發(fā)文數(shù)為ａ1,ａ2……ａ60,又設(shè)此數(shù)列前ｎ項(xiàng)和為Ｓ1,Ｓ2,…,Ｓ60≤19×5=95。
如果他在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰發(fā)文24篇,則說明存在兩個(gè)編號(hào)ｉ和ｊ,使得
�。樱�=Ｓｉ+24(1≤ｉ<ｊ≤60)成立。
又Ｓ1+24,Ｓ2+24…,Ｓ60+24≤95+24=119共60個(gè)數(shù),連同Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60共120個(gè)數(shù),將它們寫在一起,即
1≤Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60,Ｓ1+24…Ｓ60+24≤119
上式表明,在區(qū)間〔1,119〕中寫了20個(gè)整數(shù)(元素),但〔1,119〕上只有119個(gè)不同的整數(shù)(設(shè)為抽屜),由抽屜原理知,在Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60+24這120個(gè)整數(shù)中必有兩個(gè)相等。又因?yàn)椋?<Ｓ2…<Ｓ60彼此不相等,從而Ｓ1+20<Ｓ2+24<…<Ｓ60+24也各不相等,因此彼此相等的那兩個(gè)數(shù)必來自兩組之中,不妨設(shè)為Ｓｊ與Ｓｉ+24相等,即Ｓｊ=Ｓｉ+24成立。
4邏輯推理有一些涉及邏輯推理方面的問題,可通過邏輯推理方法,將矛盾結(jié)論排除,找出合理結(jié)論。推理順序有順推法和逆推法。
例7要分派Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五人去執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù),但按實(shí)際情況必須滿足以下條件:
(1)若Ａ去,Ｂ也去;
(2)Ｂ、Ｃ兩人中至少有一人去;
(3)Ｂ、Ｃ兩人中必須去且只能去一人;
(4)Ｃ、Ｄ都去或都不去;
(5)Ｅ若去,則Ａ、Ｄ都去。
問:應(yīng)派誰們?nèi)?
解(逆推):
若Ｅ去→Ａ、Ｄ都去→Ｂ去→Ｃ不去→Ｄ不去,導(dǎo)自矛盾。
所以Ｅ不能去。Ｅ不去→Ｄ去→Ｃ去→Ｂ不去→Ａ不去,符合所有條件。
∴應(yīng)當(dāng)派Ｃ、Ｄ去。
例8有4個(gè)人對(duì)話:甲說:我們當(dāng)中只有一個(gè)人說假話。乙說:我們當(dāng)中僅有兩個(gè)人說假話。丙說:我們當(dāng)中恰有三個(gè)人說假話。丁說:我們都說假話。試問:到底誰說的是真話?
解:因?yàn)樗膫�(gè)人說的話彼此矛盾,所以不會(huì)有兩個(gè)人都說真話,至多有一個(gè)人說真話。
但四個(gè)人不都說假話(因?yàn)檫@時(shí)丁說的就是真話)。
由上推理可知,恰有一個(gè)人(即丙)說真話,其他人都說假話。
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