現(xiàn)將全國著名數(shù)學(xué)特級教師，北師大碩士研究生導(dǎo)師，北京四中劉坤先生2007年專門寫給高一、高二師生的一篇文章整理出來，供家長學(xué)習(xí)參考。對二課改（新課標(biāo)）也是完全適用的。
高中學(xué)生的心理特征與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法
北京四中 劉坤
一、高中學(xué)生的心理特征與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對策
1、高中數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)
高中一年級要學(xué)集合、邏輯、函數(shù)、數(shù)列、三角與平面向量。這些內(nèi)容中理論成分所占的比重與初中數(shù)學(xué)相比空前增加。無論是概念的抽象性，論證的邏輯性，方法的靈活性，還是應(yīng)用廣泛性與初中數(shù)學(xué)相比，對思維水平的要求可以說是“爬上了一個(gè)陡坡”。高二、高三年級要學(xué)不等式的系統(tǒng)理論、解析幾何、立體幾何、排列組合、概率統(tǒng)計(jì)、極限、導(dǎo)數(shù)與復(fù)數(shù)這些內(nèi)容與高一數(shù)學(xué)相比，理論成分更多，方法論成分增加的力度更大�；谶@一特點(diǎn)，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)首先要全面、系統(tǒng)、深刻地掌握好數(shù)學(xué)理論的來龍去脈，同時(shí)又要分析好、理解好每個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的豐富內(nèi)涵，吃透它的思想實(shí)質(zhì)，有了這樣一個(gè)踏實(shí)的理念基礎(chǔ)，解題時(shí)就有可能做到“用理論思維”，即用所學(xué)過的數(shù)學(xué)理論與方法去觀察，去分析，去解決面臨的問題，這是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的根本方法，作為教師，就應(yīng)該認(rèn)真去研究怎樣教學(xué)生吃透理論，怎樣教學(xué)生“用理論思維”，并且引導(dǎo)學(xué)生不斷地總結(jié)這方面的經(jīng)驗(yàn)，否則必然會陷入盲目性，去搞什么“題型教學(xué)”，甚至?xí)?ldquo;題海教學(xué)”的邊沿，這將會給學(xué)生帶來嚴(yán)重的后果。高中三年是人體各器管劇烈發(fā)展、變化的三年，心理特征的發(fā)展變化也是如此。
2、高一年級學(xué)生的心理特征與學(xué)習(xí)對策
心理學(xué)家的研究告訴我們：高中一年級是個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)：同學(xué)們的抽象思維慢慢開始從經(jīng)驗(yàn)型占主導(dǎo)向理論型占主導(dǎo)轉(zhuǎn)變，并且將迅速進(jìn)入理論型發(fā)展的關(guān)鍵期，這時(shí)同學(xué)們遇事開始有了“個(gè)人的見解”，自主意識和獨(dú)立解決問題的能力顯著增強(qiáng)，感覺自己“真正長大了”。
這時(shí)，一個(gè)值得大家十分關(guān)注的問題是：教育研究表明，在關(guān)鍵期如果所學(xué)的知識具有一定的挑戰(zhàn)性（挑戰(zhàn)就是激勵），并且教育與訓(xùn)練的方式得當(dāng)，思維水平就會得到“神奇般地發(fā)展”！反之，如果教育內(nèi)容乏味，措施無力或不當(dāng)，就會貽誤甚至摧殘發(fā)展，給學(xué)生留下終生的遺憾。長期的教學(xué)實(shí)踐和系統(tǒng)的學(xué)法教育的研究，還使我們獲得了一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)：一個(gè)高中生三年的發(fā)展，不論是知識的獲得，個(gè)性的陶冶，還是能力的提高，都遵循這個(gè)規(guī)律—“三年發(fā)展看高一，高一關(guān)鍵在一（上）”這就是說，在高中一年級上學(xué)期所形成的心理態(tài)勢、學(xué)習(xí)方式、思維習(xí)慣和知識結(jié)構(gòu)將會對高中三年的發(fā)展產(chǎn)生重大的甚至是決定性的影響，高一（上）結(jié)束時(shí)所產(chǎn)生的優(yōu)秀生、中等生和后進(jìn)生有相當(dāng)大的比例將一直持續(xù)到高中畢業(yè)甚至大學(xué)以后，這一發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步加強(qiáng)了高一年級特別是高一上學(xué)期應(yīng)該是“關(guān)鍵期中的關(guān)鍵期”這一認(rèn)識。反面的教訓(xùn)更應(yīng)引起我們警覺：有相當(dāng)多的中學(xué)生，正是由于高中一年級沒有實(shí)現(xiàn)好這個(gè)轉(zhuǎn)折，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣一直不能與高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相適應(yīng)，成績一現(xiàn)下滑，最后甚至失去了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，給本人和家長帶來了沉重的精神壓力和痛苦！這是大學(xué)都不愿看到的。一個(gè)嚴(yán)肅的重大課題擺到了我們的面前：抓好這個(gè)關(guān)鍵期的教育和訓(xùn)練實(shí)在是太重要了！可是到底應(yīng)該怎樣抓呢？
�。�1） 要正視“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生自覺地實(shí)現(xiàn)“轉(zhuǎn)軌”
要向?qū)W生講清高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，激勵他們要與時(shí)俱進(jìn)，認(rèn)真地學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)理念與以理論型抽象思維水平主導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，自覺地、盡快地按照“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本結(jié)構(gòu)”高質(zhì)量地完成從初中學(xué)習(xí)到高中學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)軌，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣與方法。
�。�2） 要珍惜寶貴的“關(guān)鍵期”，力爭思維水平有一個(gè)更好的發(fā)展。
關(guān)鍵期也是發(fā)展的最佳期，俗話說“一寸光陰一寸金”，抓好關(guān)鍵期，使自己的才能達(dá)到更好的發(fā)展，會終生受益無窮，否則“時(shí)過而后學(xué)，雖勤勞而難成“《學(xué)記》，這是因?yàn)槿说母鞣N器官和能力的發(fā)展都具有明顯的階段性。具體地說，高一年級的數(shù)學(xué)內(nèi)容中理論成分所占比重較大，這就為理論型抽象思維水平的發(fā)展提供了契機(jī)，教育學(xué)生應(yīng)當(dāng)在每一次的理論（定義、定理、公式、法則）教學(xué)的全過程（試驗(yàn)→猜測→論證→分析→例題→應(yīng)用）中，在老師的指導(dǎo)下主動、積極地參與數(shù)學(xué)活動，力爭做到“四個(gè)超前”，力爭獨(dú)立解決問題，以促進(jìn)自己的抽象思維能力的發(fā)展。
3、高二年級學(xué)生的心理特征與學(xué)習(xí)對策
心理學(xué)家的研究告訴我們：高二年級同學(xué)的抽象思維水平已經(jīng)進(jìn)入“理論型”發(fā)展的成熟期，在這個(gè)階段如果教育和訓(xùn)練得法、適當(dāng)，思維水平還能得到很大的發(fā)展，思維能力將會進(jìn)一步完善。但是，這個(gè)時(shí)期一般只有一兩年時(shí)間，過了這個(gè)成熟期，理論型抽象思維能力的發(fā)展將會減緩，并且會逐漸趨于穩(wěn)定（也就是說越往后，發(fā)展的余地就會越�。�，取而代之的將是辨證邏輯思維能力的發(fā)展。千方面計(jì)地抓好“成熟期”這一段極其寶貴的黃金時(shí)期，力爭獲得數(shù)學(xué)能力的大發(fā)展應(yīng)該是高二數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。
（1） 首先要做好學(xué)生的思想動員，要把“成熟期只有一、兩年”的規(guī)律告訴學(xué)生，以激起他們發(fā)展思維水平的危機(jī)感，學(xué)生動起來事情就好辦了。
�。�2） 高二數(shù)學(xué)的理論性與方法論性質(zhì)較高一數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高，這就為數(shù)學(xué)能力的大發(fā)展提供了充足的精神食糧，作為教師，既是深入研究、開發(fā)每章、每節(jié)、每個(gè)例習(xí)題的智力功能，又要研究、關(guān)注每個(gè)同學(xué)的思維特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)、精心操作，幫助學(xué)生在學(xué)好數(shù)學(xué)的同時(shí)，努力促進(jìn)思維水平的發(fā)展
�。�3） 學(xué)法指導(dǎo)的重點(diǎn)仍然是：
1、 怎樣提高對數(shù)學(xué)理論的理解水平
2、 怎樣提高“用理論思維”的意識和水平，抓好了這兩條就抓住了學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的根本。
二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)理念
一條好的創(chuàng)業(yè)理念能挽救一個(gè)工廠，發(fā)展一個(gè)企業(yè)，振興一個(gè)民族，這已是屢見不鮮的事實(shí)！同樣，一條好的學(xué)習(xí)理念，能使一個(gè)學(xué)習(xí)屢屢愛挫的同學(xué)從此走向?qū)W習(xí)的成功，走上人生的康莊大道，這里向讀者推薦的就是這樣一條科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理念，要講清這個(gè)問題，首先需要弄清下面的問題：什么是真正的意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？它的本質(zhì)與核心是什么？
從所周知，數(shù)學(xué)中的知識點(diǎn)不是孤立的，而是緊密聯(lián)系的，人們把相互聯(lián)系在一起的若干個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)稱為數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者在自己的頭腦中不斷建構(gòu)（建立和造構(gòu)）和完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的過程，心理學(xué)家把這個(gè)過程叫做數(shù)學(xué)知識的“內(nèi)化”，內(nèi)化的結(jié)果，若通逐步形成一個(gè)條理清晰的、內(nèi)涵豐富的、聯(lián)系緊密的、體驗(yàn)深刻的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)就是成功的，反之，學(xué)習(xí)就不成功，甚至是失敗的，反思這個(gè)內(nèi)化的過程可以得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程從本質(zhì)上講就是理解數(shù)學(xué)知識及其聯(lián)系的過程，理解得透徹、深刻、全面，內(nèi)化的質(zhì)量就高，可見，理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，當(dāng)代美籍?dāng)?shù)學(xué)大師陳省身說過，“數(shù)學(xué)就是理解！”他之所以這樣講是基于數(shù)學(xué)具有三大特點(diǎn)——“高度的抽象性”，“嚴(yán)密的邏輯性”，“應(yīng)用的極端廣泛性和靈活性”。如果離開了深入的理解，要想學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)是根本不可能的，因此理解對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有極端的重要性，真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定要把理解放在第一位，千方百計(jì)地去提高理解層次，科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式必然是建立在深化理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)方式，舍此就背離了真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是斷然不可能學(xué)數(shù)學(xué)的。
第一， 理解是學(xué)習(xí)者自身建構(gòu)，這種理解是不可能靠別人給予的，而只可能是學(xué)習(xí)者通過參與數(shù)學(xué)活動親身感悟出來的心得體會，美國《新數(shù)學(xué)叢書》的序言中寫道：“學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法是做數(shù)學(xué)”，講的就是這個(gè)道理，為了講清原理，使感悟能達(dá)到操作水平，分四個(gè)環(huán)節(jié)：
（1） 參與問題
參與數(shù)學(xué)活動，這是獲得數(shù)學(xué)理解的前提，參與又可分為主動參與和被動參與兩種形態(tài)，有些同學(xué)課堂上是“以聽為主，力爭跟上老師的思路”，他雖然也有參與，但這種參與所涉及的內(nèi)容和力度都是很有限的，另有一些同學(xué)，課堂上不滿足于聽懂，而是像數(shù)學(xué)家那樣，力爭自己解決問題，這種強(qiáng)烈的自主意識調(diào)動了他全部的身心投入到數(shù)學(xué)創(chuàng)造中去，這種參與內(nèi)容到力度上與上一種參與相比有質(zhì)的區(qū)別，他所獲得的體驗(yàn)自然要豐富得多，深刻得多
�。�2） 反思問題
荷蘭籍國際數(shù)學(xué)教育大師弗賴登特爾認(rèn)為，“反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力”，“沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”，可見他把反思看得很重，很重！那么，什么是反思呢？通俗地講就是“回頭看腳印”就是對數(shù)學(xué)活動的全過程以及新舊知識間的聯(lián)系進(jìn)行“反復(fù)深入的思考”，從中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真締，因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)就一定要學(xué)會反思，一定要養(yǎng)成反思的習(xí)慣，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本。
�。�3） 概括問題
把參與與反思過程中所獲得的感性認(rèn)識悟化到理性認(rèn)識的過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，洞察本質(zhì)，提高理解數(shù)學(xué)的水平。
研究表明，這個(gè)過程對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)具有特殊的重要性，而這又恰恰是同學(xué)們十分困難的地方，因此，學(xué)會概括就顯得更加必要。
�。�4） 遷移問題
所謂遷移就是學(xué)習(xí)者把所獲得的體驗(yàn)、方法、思想、觀念運(yùn)用到新的情境中去，這本身就是一種創(chuàng)造。
綜上所述，要想獲得高水平的理解，一定要緊緊地抓好“參與-反思-概括-遷移”這四個(gè)步驟，要主動參與，加強(qiáng)反思，學(xué)會概括，力求遷移，這可看作是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的微觀過程，很明顯，在這個(gè)過程中，缺少任何一個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)都是不完全的學(xué)習(xí)，不完全的學(xué)習(xí)是不可能獲得高水平的理解的。
三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)方法
基于上述學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的科學(xué)理念，筆者向讀者推薦我們在北京四中所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，這可看作是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的宏觀過程。
1、課堂上力爭做到“四個(gè)超前”
(1)、超前想：老師提出課題后，自己要盡量超在老師講解之前，想出思路和答案
(2)、超前做：老師寫出例題后，自己要盡量超在老師講解之前，發(fā)現(xiàn)思路，甚至做出結(jié)果
(3)、超前總結(jié)：老師做完解答后，自己要盡量超在老師講解之前，對解答過程進(jìn)行反思、概括和總結(jié)。
(4)、超前提問題：老師作出總結(jié)后，自己要盡量超在老師講解之前，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，研究問題
“四個(gè)超前“首先是針對理論課的教學(xué)提出的，也適用于例題課的教學(xué)，基基本思想是課堂上要使自己的思維處于非常積極的狀態(tài)，主動地對信息進(jìn)行多方位的搜集、分析、綜合與轉(zhuǎn)換，從這個(gè)過程中獲得新的猜想、新的思路、新的感悟、新的創(chuàng)造。“四個(gè)超前”的提出和實(shí)施為數(shù)學(xué)課堂注入了活力，徹底結(jié)束了學(xué)生被動聽講的局面，強(qiáng)化了獨(dú)立思考和自主解決問題的意識，實(shí)踐證明，這種意識對實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的大發(fā)展和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)都具有非常重要的作用，而且，做到了“四個(gè)超前”，就有可能同老師的講解和同學(xué)們的討論、交流進(jìn)行對比，找出差距，學(xué)習(xí)就更有針對性。
2、課下要學(xué)會“三種復(fù)習(xí)”
及時(shí)復(fù)習(xí)——每天課后，要通過閱讀課本和整理筆記完成兩項(xiàng)任務(wù)：
�。�1）深摳理論（概念、定理、公式、法則）
數(shù)學(xué)概念和定理具有數(shù)學(xué)的三大特性，不深摳是難以理解和掌握的，深摳主要要弄清以下四個(gè)方面的問題：
1、 理論產(chǎn)生的背景和過程（為什么要提出這個(gè)概念？定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？怎樣證明的？公式是怎樣推導(dǎo)的？）
2、 理論適用的條件（什么條件下這個(gè)理論不能用？）
3、 理論的結(jié)構(gòu)特征（數(shù)與式子的結(jié)構(gòu)特征，圖形的結(jié)構(gòu)特征，命題的結(jié)構(gòu)特征等）
4、 理論的本質(zhì)與功能（要透過形式看本質(zhì)并且關(guān)注功能）
（2）學(xué)摳例題
我們把例題的學(xué)習(xí)劃分為三種水平：怎么做（學(xué)會做法），怎么想（學(xué)會想的方法，核心是學(xué)會“用理論思維”）為什么要這樣想，還能怎么想（真正做到明理），要知道，“會做不等于會想，會想未必明理”，只有會想，而且達(dá)到了明理的水平，才算“知其然更知其所以然”，才能舉一反三，觸類旁通。
很明顯，深摳的過程，就是華羅庚教授所倡導(dǎo)的“把書讀厚”的過程，就是深入提示理論和例題豐富內(nèi)涵的過程，就是充分汲取智力營養(yǎng)的過程，這個(gè)過程對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言，是不可缺少的基礎(chǔ)性工程，是提高理解水平極為得要的步驟，更是廢止題海戰(zhàn)術(shù)的必要條件和法寶。
3、單元復(fù)習(xí)——每個(gè)單元讀完之后，要做到單元復(fù)習(xí)，完成以下任務(wù)：
（1）整理、串聯(lián)知識點(diǎn)，形成單元的理論系統(tǒng)。
知識點(diǎn)經(jīng)串聯(lián)以后，理論發(fā)展的來龍去脈一目了然，其主干和枝杈經(jīng)緯分明，容易看清基本數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用，它能使你“站在系統(tǒng)的高度”總攬全局，甚至能把握理念發(fā)展的去向
�。�2）歸納單元理論的基本思想，中心課題和數(shù)學(xué)方法，使理解達(dá)到更高的層面。
�。�3）篩先單元中的典型例題和習(xí)題，以利于進(jìn)一步研究和以后的復(fù)習(xí)
很明顯，這種系統(tǒng)整理知識的方法就是華羅庚教授所倡導(dǎo)的“把書讀薄”的方法，這種方法能把零散的知識穿成串，結(jié)成鏈，形成系統(tǒng)，對進(jìn)一步思考和理解單元知識的內(nèi)涵以及提高能力作用極大，而且理論一經(jīng)形成了系統(tǒng)，不但萌生了系統(tǒng)的整體功能，而且因其具有邏輯性和形象性，能長期保留記憶中
講到這里，也許有同學(xué)會問，課后復(fù)習(xí)和單元復(fù)習(xí)下這么大功夫有必要嗎？
我們的回答是十分肯定的，原因是簡單的，在高中階段理性思考（用數(shù)學(xué)的理論作指導(dǎo)去思考）在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解決問題的過程中起決定作用，因此，首先下功夫鉆研理論，吃透精神，把勁使在刀刃上，這樣做提高了理論的理解層次，解決問題時(shí)思維才會有正確的方向，否則思考必然會陷入無源之水的境地，這是高中階段許多同學(xué)數(shù)學(xué)沒有學(xué)好的根本原因。
4、考前復(fù)習(xí)與考后總結(jié)
很多同學(xué)考前不復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，只會找一份題做做。這樣往往會使知識系統(tǒng)記憶不全，丟三落四，甚至平時(shí)做過的題考試中也想不起來，因此，學(xué)會考前復(fù)習(xí)具有現(xiàn)實(shí)意義，考前復(fù)習(xí)的任務(wù)在考試范圍內(nèi)：
（1） 把單元的理論系統(tǒng)及其內(nèi)涵合上書從頭到尾說一遍，說不下去時(shí)，找開書看一看，繼續(xù)往下說，直至能全部說清楚，這是諾貝爾物理學(xué)獎獲得者華裔科學(xué)家丁肇中教授的學(xué)習(xí)方法，用這種方法復(fù)習(xí)，能做到不缺不漏，重點(diǎn)突出，能真正了解自己掌握理論的狀況，這種“說教學(xué)的方法”很有效，值得提倡，你不妨試一試！
（2） 把單元復(fù)習(xí)整理過的中心課題、數(shù)學(xué)思想和方法照上而的辦法也說一遍，這樣做不但能完整地掌握數(shù)學(xué)問題解決的課題、思想方法，而且重點(diǎn)突出，針對性強(qiáng)，省時(shí)省力。
（3） 把典型例題和習(xí)題分析一遍或者做一遍。
考試后要做總結(jié)。既要總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，更要總結(jié)失分點(diǎn)。失分點(diǎn)分為四類：1、理論的失誤2、技能操作的失誤3、理解思路和方法的失誤4、心理因素引起的失誤
要查明原因，找出改進(jìn)的方法，力爭做到對失分點(diǎn)日后“為二錯(cuò)”。華羅庚教授倡導(dǎo)，學(xué)數(shù)學(xué)要“反復(fù)溫習(xí)”，以上所講的是落實(shí)反復(fù)溫習(xí)的操作方法。
5、作業(yè)要做到“三項(xiàng)要求”
�。�1）先復(fù)習(xí)后做作業(yè)（全面掌握教材，才能領(lǐng)悟每個(gè)練習(xí)題的目的，做作業(yè)才能省時(shí)、省力、質(zhì)優(yōu)、高效）
（2）做作業(yè)要精力集中，字跡清秀，操作規(guī)范，計(jì)算正確，力求不涂改（精力集中，做事一板一眼，是一種優(yōu)秀的心理素質(zhì)，對成才大有裨益，有些同學(xué)平時(shí)不注意養(yǎng)成，等出現(xiàn)問題時(shí)，再來校正就非常困難）
�。�3）出現(xiàn)錯(cuò)題，要要重做，并要查明原因
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