1、映射：
（1）設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按照某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，
那么，就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射，記作：f：A→B。
（2）像與原像：如果給定一個集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a對應(yīng)的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函數(shù)：
（1）定義（傳統(tǒng)）：如果在某變化過程中有兩個變量x，y并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。
（2）函數(shù)的集合定義：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱
f：x→y為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)f（x）的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）叫做函數(shù)f（x）的值域。顯然值域是集合B的子集。
3、構(gòu)成函數(shù)的三要素：
定義域，值域，對應(yīng)法則。
值域可由定義域唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，值域一定相同，它們可以視為同一函數(shù)。
4、函數(shù)的表示方法：
（1）解析法：如果在函數(shù)y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代數(shù)式（或解析式）來表達(dá)的，則這種表示函數(shù)的方法叫做解析式法；
（2）列表法：用表格的形式表示兩個量之間函數(shù)關(guān)系的方法，稱為列表法；
（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。
注意：函數(shù)的圖象可以是一個點，或一群孤立的點，或直線，或直線的一部分，或若干曲線組成。
映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；
（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一個；
（3）方向性：從A到B的映射與從B到A的映射一般是不一樣的；
（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
（1）函數(shù)兩種定義的比較：
①相同點：1°實質(zhì)一致2°定義域，值域意義一致3°對應(yīng)法則一致
②不同點：1°傳統(tǒng)定義從運動變化觀點出發(fā)，對函數(shù)的描述直觀，具體生動.
2°近代定義從集合映射觀點出發(fā)，描述更廣泛，更具有一般性.
（2）對函數(shù)定義的更深層次的思考：
映射與函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)是一種特殊的映射f：A→B，其特殊性表現(xiàn)為集合A，B均為非空的數(shù)集. .函數(shù):AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。小結(jié)：函數(shù)概念8個字：非空數(shù)集上的映射。
對于映射這個概念，應(yīng)明確以下幾點：
①映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集，點集或由圖形組成的集合以及其它元素的集合.
②映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不相同的.
③映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有象，而這個象是唯一確定的.這種集合A中元素的任意性和在集合B中對應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心.
④映射允許集合B中的某些元素在集合A中沒有原象，也就是由象組成的集合
.
⑤映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”.
一一映射：設(shè)A，B是兩個集合，f：A→B是從集合A到集合B的映射，如果在這個映射的作用下，對于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么這個映射叫做從A到B上的一一映射. 一一映射既是一對一又是B無余的映射.
在理解映射概念時要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一�？偨Y(jié)：取元任意性，成象唯一性。
對函數(shù)概念的理解：
函數(shù)三要素
（1）核心??對應(yīng)法則等式y(tǒng)=f(x)表明，對于定義域中的任意x，在“對應(yīng)法則f”的作用下，即可得到y(tǒng).因此，f是使“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑.是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)的核心.對于比較簡單的函數(shù)，對應(yīng)法則可以用一個解析式來表示，但在不少較為復(fù)雜的問題中，函數(shù)的對應(yīng)法則f也可以采用其他方式（如圖表或圖象等）.
（2）定義域定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)的一個不可缺少的組成部分，定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應(yīng)看作是兩個不同的函數(shù). 在中學(xué)階段所研究的函數(shù)通常都是能夠用解析式表示的.如果沒有特別說明，函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實數(shù)x的集合.在實際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體的量的允許取值范圍問題.
（3）值域值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在一般情況下，一旦定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，判斷兩個函數(shù)是否相同，只要看其定義域與對應(yīng)法則是否完全相同，若相同就是同一個函數(shù)，若定義域和對應(yīng)法則中有一個不同，就不是同一個函數(shù). 同一函數(shù)概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。
（4）關(guān)于函數(shù)符號y=f(x)
1°、y=f(x)即“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示.僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.f(x)也不一定是解析式.
2°、f(x)與f(a)的區(qū)別：f(x)是x的函數(shù)，在通常情況下，它是一個變量.f(a)表示自變量x=a時所得的函數(shù)值，它是一個常量即是一個數(shù)值.f(a)是f(x)的一個當(dāng)x=a時的特殊值.
3°如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同，那么它們?nèi)匀皇峭粋�函數(shù)，但是如果定義域與對應(yīng)法則中至少有一個不相同，那么它們就不是同一個函數(shù).
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