作者：佚名
●計名釋義
關(guān)羽不同于諸葛.諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀.“過關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀.
數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工.關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！
●典例示范
［例1］（2006年四川卷第19題）
如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求證：MN∥面ADD1A1；
�。á颍┣蠖娼荘—AE—D的大��；
�。á螅┣笕忮FP—DEN的體積.
�。鄯治觯葸@是個長方體，而“長”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對象：用刀從中一劈，則分成2個相等的正方體.對于正方體，我們該多么熟悉��！有關(guān)線段的長度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.
［解Ⅰ］取D1C1的中點Q，過Q和MN作平面QRST.顯然，M、N都在這平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（證畢）.
［插語］其所以這么簡單，是因為我們對正方體熟悉.正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功.以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進行（從略）.
【例2】(04•重慶卷題21)設(shè)p>0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.?
（Ⅰ）試證：拋物線頂點在圓H的圓周上；?
�。á颍┎⑶髨AH的面積最小時直線AB的方程.?
【分析】（Ⅰ）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點在圓上，有如下各種對策：?
?
【解答】（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=2p,代入
?
【分析】(Ⅱ)為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長的函數(shù)表達式，直觀上我們已可推測到當(dāng)AB⊥x軸時，弦AB之長最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:?
(1)用直線的點斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識求其最值.?
(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.?
這兩種方法各有優(yōu)長，但都須牽涉到兩個變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個變量.?
?
【點評】斧子開門，只要你說要進去，直接在墻上打洞最直接了.??
●對應(yīng)訓(xùn)練?
1.已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an構(gòu)成一個數(shù)列{an},滿足f(1)=n2.?
(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并求之值.?
(2)證明0<f<1.?
2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對角線BD將△ABD向上折起，使點A移到點P,并使點P在平面BCD上的射影O在DC上(如圖所示).?
(1)求證:PD⊥PC;?
(2)求二面角P—DB—C的大小.?
?
●參考答案?
1.分析：(1){an}的各項是f(x)展開式中各項的系數(shù)，故其各項和Sn=f(1).
?(2)可以預(yù)見:f展開式的各項是系數(shù)成等差，字母成等比的綜合數(shù)列，這
種數(shù)列的求和方法是“錯項相減”.?
(3)f的解析式必含變量n,為判斷其范圍可考慮用求導(dǎo)法判斷其單調(diào)性.?
2.分析:圖形經(jīng)過翻折(或平移、旋轉(zhuǎn))，只是位置改變，而有關(guān)線段的長度、角度及原來的平行、垂直等關(guān)系，在位置改變前后都沒有改變，緊扣這一點，就能悟出解題門道.
(1)為證PD⊥PC,須先證PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前為AD⊥AB),還須PD⊥BC.?
(2)求二面角的要點是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD?,只須作OM⊥BD?即可.??
解答:(1)由條件知PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD,?BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂線定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,從而PD⊥PC.?
(2)作OM⊥BD于M，連接PM,則BD⊥PM(三垂線定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,?
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