【讀者按】函數(shù)值域和定義域的大小,是高中數(shù)學(xué)�？嫉囊粋�(gè)知識(shí)點(diǎn),本文介紹了函數(shù)求值域最常用的九種方法和例題講解.

一.觀察法

通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域 高三。

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數(shù)的知域?yàn)?

點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。

本題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域?yàn)椋簕0，1，2，3，4，5｝)

二.反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y?y≠1,y∈R｝。

點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域?yàn)閧y?y<-1或y>1｝)

三.配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y?y≤3})

四.判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無(wú)解。∴函數(shù)的值域?yàn)?

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/97526.html

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