在我看來(lái)，數(shù)學(xué)的真正美妙的地方之一在于它可以被檢驗(yàn)；你不必把任何人的話當(dāng)做圣經(jīng)。如果有人給你說(shuō)一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數(shù)學(xué)家一樣思考，那你可以嘗試主動(dòng)證明它。不要等著有人拿勺子喂你。
一、質(zhì)疑一切
對(duì)于一些人的話，你的反應(yīng)應(yīng)該是懷疑，并且試圖去找到一個(gè)反例；即便是真的，這種對(duì)你的鍛煉也是有益的，同時(shí)也能幫助我們對(duì)事情的判斷力（注意，在真實(shí)生活場(chǎng)景中過(guò)度這么做可能會(huì)失去朋友，一直挑別人的刺，誰(shuí)都會(huì)不爽）。
某報(bào)紙的一份來(lái)信說(shuō)時(shí)間旅行從邏輯上是不可能的，因?yàn)槿绻麜r(shí)間旅行是可能的，那我們是會(huì)看到很多來(lái)自未來(lái)的人。我有一些想法來(lái)反駁這個(gè)邏輯：或許時(shí)間旅行只允許我們穿越到過(guò)去某點(diǎn)時(shí)間（比人類歷史還要長(zhǎng)）；或許時(shí)間旅行者不允許和我們交流；或許時(shí)間旅行有一個(gè)范圍，能穿越的時(shí)間不超過(guò)一年，而時(shí)間旅行在數(shù)年后才出現(xiàn)（并且時(shí)間旅行的機(jī)器不能穿越）。
二、寫(xiě)下來(lái)
寫(xiě)下來(lái)？你可能會(huì)問(wèn)，這跟和數(shù)學(xué)家一樣思考有個(gè)啥關(guān)系。是這樣的，語(yǔ)言是由一些論據(jù)構(gòu)建的。高水平數(shù)學(xué)家的論據(jù)都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數(shù)字答案）。
學(xué)生通常看不到寫(xiě)下來(lái)的需要；他們常常說(shuō)：“我來(lái)大學(xué)不是來(lái)寫(xiě)作文的”，“我已經(jīng)知道正確答案了”，“你懂的”。他們的作業(yè)都是一些沒(méi)有關(guān)系的符號(hào)堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數(shù)學(xué)并且思路清晰，通過(guò)寫(xiě)的練習(xí)可以迫使你對(duì)自己的觀點(diǎn)想的更清楚。如果你不能正確的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表達(dá)什么。這是一個(gè)可以學(xué)習(xí)和發(fā)展自己技術(shù)的很好機(jī)會(huì)。其實(shí)寫(xiě)的一手好文章在任何領(lǐng)域都是很有用的技術(shù)。
三、試試逆？
語(yǔ)句A=>B是數(shù)學(xué)的核心，我們可以表述為如果A是真的，那么B就是真的；
A=>B的逆就是B=>A，例如："如果我是丘吉爾，那我是英國(guó)人"的逆是"如果我是英國(guó)人，那么我是丘吉爾"；
這個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明了，即便是一個(gè)語(yǔ)句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，說(shuō)之前要搞清楚；
一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，當(dāng)提出一個(gè)A隱含B的語(yǔ)句時(shí)，通常會(huì)思考"其逆為真么？"，把這個(gè)問(wèn)題印到腦子里，作為你和數(shù)學(xué)打交道的工具；然后，其逆是否為真并不是很重要，關(guān)鍵是磨練數(shù)學(xué)的能力；
[說(shuō)個(gè)題外話，通常人們會(huì)犯一個(gè)大錯(cuò)誤，就是當(dāng)A=>B時(shí)，認(rèn)為如果A非真的，那么B也非真的；這是不對(duì)的，這個(gè)語(yǔ)句只是在說(shuō)當(dāng)A為真是會(huì)發(fā)生什么，并沒(méi)有說(shuō)A非真時(shí)的情況�，F(xiàn)在可以像一個(gè)數(shù)學(xué)家一樣思考一下，給一個(gè)例子。]
四、試著互逆
一條語(yǔ)句'A=>B'的互逆是'notB=>notA'；
例如：
1）『如果我是丘吉爾，那么我就是英國(guó)人』的互逆就是『如果我不是英國(guó)人，那么我就不是丘吉爾』
2）『如果我不是美國(guó)人，那么我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人，那么我就是美國(guó)人』
3）『x^2-4x-5=0=>x>=-2』的互逆就是『x<-2>x^2-4x-5!=0』
A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說(shuō)，如果A=>B是真的，那么notA=>notB就是真的，反之亦然。可以驗(yàn)證一下上面的例子。一開(kāi)始可能很難在腦子里形成固有概念-其實(shí)大多數(shù)人都不相信；有一個(gè)著名的關(guān)于互逆的教育實(shí)驗(yàn)，叫做Wason的選擇任務(wù)。可以看一看你是否能通過(guò)測(cè)試，只有不到10%的人通過(guò)了；
由于互逆經(jīng)常用做證明，并且日常推理也經(jīng)常搞錯(cuò)，所以你應(yīng)該掌握。
五、考慮極端情況
面對(duì)一個(gè)命題，要在少量極端的假設(shè)情況下看看；如果需要的參數(shù)為0或者1會(huì)怎樣？如果把需要的函數(shù)定義為f(x)=0會(huì)怎樣？數(shù)據(jù)集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1……呢？直線或者圓會(huì)有什么結(jié)果？
這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應(yīng)用的場(chǎng)景；
考慮一個(gè)極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z!=X^2』。貌似Y和Y^2一般場(chǎng)景下是真的，但其實(shí)不然，比如Y=1，當(dāng)X=1的條件下；
用一個(gè)極端的例子說(shuō)明下列原理是錯(cuò)誤的：
原理：假設(shè)a,b,c,d是正整數(shù)，如果ab=cd，a=c，那么b=d；
想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時(shí)注意收集，用到的時(shí)候信手捏來(lái)，有一個(gè)訓(xùn)練方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說(shuō)：快！給我一個(gè)X的好例子，快！X可以是群組、向量、函數(shù)等數(shù)學(xué)對(duì)象。
來(lái)源：譯言網(wǎng)
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/978839.html
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