我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，下文是抽象函數(shù)求解技巧，希望可以幫助到同學(xué)們。

函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。

例：設(shè)y=蕊(x)是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

(i)f(-1)=f(1)=0;

(ii)對任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)u-v。

(Ⅰ)證明：對任意的x[-1，1]，都有x-11-x;

(Ⅱ)證明：對任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)1。

解題：

(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x[-1，1]時(shí)，有f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即x-11-x.

(Ⅱ)證明：對任意的u,v[-1，1]，當(dāng)u-v1時(shí)，有f(u)-f(v)1

當(dāng)u-v1，uv0,不妨設(shè)u0，則v0且v-u1,其中v(0，1]，u[-1，0)

要想使已知條件起到作用，須在[-1，0)上取一點(diǎn)，使之與u配合以利用已知條件，結(jié)合f(-1)=f(1)=0知，這個(gè)點(diǎn)可選-1。同理，須在(0，1]上取點(diǎn)1，使

之與v配合以利用已知條件。所以，f(u)-f(v)f(u)-f(-1)+f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u)1

綜上可知，對任意的u,v[-1，1]都有f(u)-f(v)1.

抽象函數(shù)求解技巧的全部內(nèi)容及時(shí)這些，數(shù)學(xué)網(wǎng)希望考生可以完全掌握。

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