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高二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：高二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)排列組合公式

排列組合公式/排列組合計(jì)算公式

排列P------和順序有關(guān)

組合C-------不牽涉到順序的問題

排列分順序，組合不分

例如把5本不同的書分給3個(gè)人，有幾種分法."排列"

把5本書分給3個(gè)人，有幾種分法"組合"

1．排列及計(jì)算公式

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號p(n，m)表示.

p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(規(guī)定0！=1).

2．組合及計(jì)算公式

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號

c(n，m)表示.

c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；

3．其他排列與組合公式

從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.

n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1，n2，...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為

n！/(n1！*n2！*...*nk！).

k類元素，每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1，m).

排列（Pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）

Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）�。ㄗⅲ海∈请A乘符號）；Pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=n！；0！=1；Pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n

組合（Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))）

Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m�。╪-m）！；Cnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=1；Cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；Cnm=Cnn-m

2008-07-0813：30

公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)！-階乘，如9�。�9*8*7*6*5*4*3*2*1

從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1)；

因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n－（n-r+1)＝r

舉例：

Q1：有從1到9共計(jì)9個(gè)號碼球，請問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。

上問題中，任何一個(gè)號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式＝P（3，9)＝9*8*7，(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）

Q2：有從1到9共計(jì)9個(gè)號碼球，請問，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？

A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。

上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3，9)=9*8*7/3*2*1

排列、組合的概念和公式典型例題分析

例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組．（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加．各有多少種不同方法？

解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法．

（2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法．

點(diǎn)評由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算．

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？

解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：

∴符合題意的不同排法共有9種．

點(diǎn)評按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型．

例３判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果．

（1）高三年級學(xué)生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？

（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？

分析（1）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題．其他類似分析．

（1）①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手（次）．

（2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法．

（3）①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積．

（4）①是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法．

例４證明．

證明左式

右式．

∴等式成立．

點(diǎn)評這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡化．

例5化簡．

解法一原式

解法二原式

點(diǎn)評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡化．

例6解方程：（1）；（2）．

解（1）原方程

解得．

（2）原方程可變?yōu)?/p>

∵，，

∴原方程可化為．

即，解得

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本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/116189.html

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