石室中學(xué)高2014屆2013—2014學(xué)年度上期期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題（時(shí)間120分鐘滿分150分）一、選擇題每小題5分，共0分1.設(shè)全集，集合，則集合=（ ） A. 　　B. C. 　 D. 2.函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. 2π D. 4π 3.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中i虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）A． －　　 B. 　 C. 2　　 D. 14.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值為（ ） A. 　　　　B. 　　　　 C. 　　　D. 5.若=，則的值為（ ）A. 121 B.124 C. 122 D.1206．如圖程序運(yùn)行后,輸出的值是（ ） A．-4 B. 5 C. 9 D. 147.袋中共有個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ ）A. B. C. D.8.已知向量滿足，且，則在方向上的投影為A．3 B．. C． D．9. 已知函數(shù)若存在，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（ ）A． B． C． D．10. 已知函數(shù) 則下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是A. 當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)B當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)C無(wú)論為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)D無(wú)論為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)二、填空題：每題分，共分11.某工廠生產(chǎn)三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，三種產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)容量為的樣本，樣本中型號(hào)的產(chǎn)品有件，那么此樣本容量 ．中，為其前n項(xiàng)和，若，，則當(dāng)取到最小值時(shí)n的值為_(kāi)________.13.若某幾何體的三視圖 (單位：cm) 如圖所示，則此幾何體的表面積是 cm．14.已知正數(shù)滿足則的取值范圍是 15．若函數(shù)的定義域和值域均為,則的范圍是________.三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16. （本題滿分12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.17. （本小題滿分12分）已知中，角的對(duì)邊分別為，且有。 （1）求角的大�。唬�2）設(shè)向量，且，求的值。18．（本題滿分1分）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)在棱上（1）求證：平面平面（2）當(dāng)，且，確定點(diǎn)的位置，即求出的值（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個(gè)三等分點(diǎn)，求二面角A-EF-D的余弦值.[]19．（本小題滿分12分）成都市為“市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試，且規(guī)定：成績(jī)大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰。若現(xiàn)有500人參加測(cè)試，學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下： （I）求獲得參賽資格的人數(shù)； （II）根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學(xué)生測(cè)試的平均成績(jī)； （III）若知識(shí)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率都相同，并且相互之間沒(méi)有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望。20.（本題滿分13分）已知函數(shù)， (Ⅰ)若求的值域； (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.（本題滿分14分）已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；[](Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)為，且.證明：.石室中學(xué)高2014屆上期中期考試題數(shù)學(xué)參改答案一、選擇題：題號(hào)答案CBBACAB/DBD/BB/C二、填空題：11. 72; 12. 7或8; 13. ； 14. (理) (文) 15. (理) (文) 三、解答題：16. 解：（Ⅰ）由題設(shè)知， …………………………………………2分由兩式相減，得.所以. ……………………………………4分可見(jiàn)，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列。所以 …………………………………………6分（Ⅱ）， ……………………………………… 8分 . ……………………………………… 10分=. …………………………………………12分17. ………………6分(2)舍（不舍 扣2分） ………………12分18. （文科每問(wèn)6分，理科三問(wèn)分別3分、4分、5分）證明：（1）四邊形ABCD是正方形ABCD(2)設(shè)AC交BD=O,AO=1在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=中斜邊PB的高h(yuǎn)=即E為PB的中點(diǎn)。(3)連接OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。[]則A(1,0,0) E(0,0,1) F(0,-1,) D(0,-1,0)面EFD的法向量為設(shè)為面AEF的法向量。令y=1,則所以二面角A-EF-D的余弦值為19.解：(1) (0.005+0.0043+0.032)20500=0.25500=125 ……………2分 (2) (400.0065+600.0140+800.0170+1000.0050+1200.0043+1400.0032)20 =(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)20=78.48 ……………5分 (3) 設(shè)甲答對(duì)每一道題的概率為.P 則 的分布列為 3 4 5 =……………12分文科第三問(wèn)：P=[]20. 解：（1）理：由題意得：當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)的值域?yàn)椋骸�……………………�?分當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)的值域?yàn)椋骸�…………………………�?分當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)的值域?yàn)椋骸�………………�?分文：的值域?yàn)椋�。�?）由恒成立得：恒成立，令，因?yàn)閽佄锞�的開(kāi)口向上，所以，由恒成立知：………………8分化簡(jiǎn)得： 令則原題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得 即：當(dāng)，…10分∵，的對(duì)稱軸： 即：時(shí)，∴解得： ②當(dāng) 即：時(shí)，∴解得：綜上：的取值范圍為：……………………………………………………13分法二：也可，化簡(jiǎn)得：有解，則。21. 理科：解：(Ⅰ) 令可得.列表如下:--0+減減極小值增單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為.------------5分(Ⅱ)由題，對(duì)于函數(shù)，有∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∵函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，從而，所以，當(dāng)時(shí)，，，∴ 函數(shù)的遞增區(qū)間有和，遞減區(qū)間有，，，此時(shí)，函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，且；∴當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，————9分即有，消去有 令，有零點(diǎn)，且∴函數(shù)在上遞減，在上遞增要證明 即證構(gòu)造函數(shù)，=0只需要證明單調(diào)遞減即可.而， 在上單調(diào)遞增, ∴當(dāng)時(shí)，.————————１４分文科：解：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)椋�．………�?分依題意，方程有兩個(gè)不等的正根，（其中）．故，并且 ． 所以， 故的取值范圍是． …………6分(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí)，．若設(shè)，則[]．于是有 構(gòu)造函數(shù)（其中），則．所以在上單調(diào)遞減，． 故的最大值是． …………14分 ( ).? （6題圖）（第4題）4322正視圖側(cè)視圖俯視圖BEPDCA四川省成都石室中學(xué)2014屆高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)理
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