中考數(shù)學(xué)答題技巧：圓與圓位置關(guān)系中常見輔助線的作法

圓與圓位置關(guān)系是初中幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，本文介紹圓與圓的位置關(guān)系中常見的五種輔助線的作法。

1. 作相交兩圓的公共弦

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。

例1. 如圖1，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作直線CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE=DF。

圖1

分析：CE和DF分別是⊙O1和⊙O2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。

證明：連結(jié)AB

因?yàn)?/p>

又

所以

即CE//DF

又CD//EF

所以四邊形CEFD為平行四邊形

即CE=DF

2. 作兩相交圓的連心線

利用過交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問題。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數(shù)。

圖2

分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側(cè)或異側(cè)，要求的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。

解：當(dāng)AB位于O1、O2異側(cè)時(shí)，如圖2。

連結(jié)O1、O2，交AB于C，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得

故

當(dāng)AB位于O1、O2同側(cè)時(shí)，如圖3

圖3

則

綜上可知或

3. 兩圓相切，作過切點(diǎn)的公切線

利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系

例3. 如圖4，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，A是⊙O1上的一點(diǎn)，直線AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直線AP交⊙O2于D。求證PC平分。

圖4

分析：要證PC平分，即證而的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。

若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T

易知

由弦切角定理，得

又是的一個(gè)外角

所以

又

從而有

即PC平分

4. 兩圓相切，作連心線

利用連心線經(jīng)過切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計(jì)算問題。

例4. 如圖5，⊙O1與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O1經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC，交⊙O1于點(diǎn)D，EF為過點(diǎn)A的公切線，若，求的度數(shù)。

圖5

分析：

是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O1O2、O1A，則O1O2必過點(diǎn)A，且O2A為⊙O1的直徑，易知。

連結(jié)DA，則于是

又為銳角

所以

從而有

5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線

有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。

例5. 如圖6，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為，，求兩圓的半徑。

圖6

分析：如圖6，連結(jié)O1O2、O1A、O2B，過點(diǎn)O2作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。

請同學(xué)們自己給出解答。

(答案：兩圓的半徑分別為3和1)

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