浙江泰順縣第一中學 曾安雄
[考點闡釋]
在高考中有關集合內(nèi)容共有5個考點：①集合；②子集；③補集；④交集；⑤并集．
考試要求：①理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；②了解空集和全集的意義；③了解屬于、包含、相等關系的意義；④掌握有關的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合。
重點：①集合的表示及專用符號．用描述法表示集合{xx∈P}，要正確理解豎線前代表元素及其具有的性質(zhì)P；②集合之間的運算：能夠熟練地求兩個或幾個集合的交集、并集合，并掌握利用數(shù)軸、文氏圖解決集合的方法．
[題型特點及破解技巧]
一、基本型
題型特點：主要考查集合的基本概念和基本運算，這是高考考查集合的主要方式，幾乎每年必考．
破解技巧：常用解法是定義法、列舉法、性質(zhì)法、韋恩圖法及語言轉(zhuǎn)換法等.
例1(2003年北京春季高考題)若集合M＝{ y y＝2x}，P＝{ y y＝ }，則M∩P＝（ ）
(A) { y y＞1} (B) { y y≥1}
(C) { y y＞0} (D) { y y≥0}
分析：本題的錯誤率極高，主要是缺乏語言互化能力．其實是求“兩個函數(shù)值域的交集”．
解：本題集合M與P中的代表元素是y，則M∩P即是求函數(shù)y＝2x與y＝ 的值域的公共部分，顯然M＝{ y y＞0}，P＝{ y y≥0}，故選(C)．
例2(2014年全國高考北京卷)設全集是實數(shù)集R， ， ，則 M∩N等于( )
A. B.
C. D.
分析：本題分步計算即得，先算補集，再求交集．
解：先計算補集 M＝{xx＜－2或x＞2}，再繼續(xù)求交集，即 M∩N＝{xx＜－2}，故選(A)．
例3(2014年全國高考Ⅰ卷河南、河北等地區(qū)) 設A、B、I均為非空集合，且滿足A B I，則下列各式中錯誤的是( )
(A) ( A)∪B＝I (B) ( A)∪( B)＝I
(C) A∩( B)＝ (D) ( A)∩( B)＝ B
點通1 運用韋恩圖
畫出韋恩圖(如右圖)，從圖中易驗證，選項(B)錯誤．故選(B)．
點通2 運用特殊集合
設A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}，則 A＝{2，3}， B＝{3}易驗證(B)錯誤．故選(B)．
例4(2014年北京高考題)設全集U=R，集合M={x x＞1}，P={x x2＞1}，則下列關系中正確的是( )
(A)M＝P (B) P M (C) M P (D)
解：P＝{xx＞1或x＜－1}，M＝{xx＞1}，易知M P，而選(C)．
點評：判斷集合之間關系問題，應先簡化集合，再判斷．有時還可結(jié)合圖象加以觀察．
二 、交匯型
題型特點：主要是將集合與不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識進行交匯，形成多知識點的綜合問題．
破解技巧：解題的關鍵在于靈活運用有關知識.
例5⑴(2014年山東高考題) 設集合A、B是全集 的兩個子集，則A B是 的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
⑵(2014年上海高考題)已知集合 ， ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
分析：第⑴小題是集合與簡易邏輯進行交匯，用推出法即可解決．第⑵小題是集合與不等式的交匯．
解：⑴由 ，即A＝B或A B，設p：A B；q： ，則有p q，但q p．故選(A)．
⑵集合M = { x －1≤x≤3，x }，P = { x －1＜x ≤4，x Z = { x 0≤x≤4，x Z}，所以 = ，故選(B)．
點評：對于⑵是集合與絕對值不等式及分式不等式的交匯，對分式不等式到整式不等式的轉(zhuǎn)化．在這里，要注意分母不為零的條件限制．
三、計數(shù)型
題型特點：是指以集合為背景，求子集的個數(shù)、集合中元素的個數(shù)等．
破解技巧：常用解法是子集的個數(shù)公式法、圖表法、組合數(shù)公式法等 .
例6⑴(2003年安徽春季高考題) 集合S＝{a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有（ ）
(A) 2個 (B) 3個 (C) 5個 (D) 8個
⑵(2014年全國高考Ⅲ卷陜西、廣西等地區(qū))設集合M＝{(x，y)x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)x2－y＝0，x∈R，y∈R}，，則集合 中元素的個數(shù)為（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
⑶(2014年天津高考文科卷)設集合 N}的真子集的個數(shù)是( )
(A) 16 (B) 8； (C) 7 (D) 4
解： ⑴本題等價于求集合{c，d，e}的子集個數(shù)，即為23＝8，選(D)．
⑵本題只要將集合語言轉(zhuǎn)換成圖形語言即可．本題實質(zhì)就是單位圓與拋物線y＝x2的交點個數(shù)，畫圖知2個，故選(B)．
⑶A＝{0，1，2}，故A的真子集個數(shù)是23－1＝7，選(C)．
四、逆向型
題型特點：已知集合的運算結(jié)果，寫出集合運算的可能表達式，這類題往往具有一定的開放性．
例7⑴（2000年上海春季高考題）設U是全集，非空集合P、Q 滿足P Q U，若含P、Q 的一個集合運算表達式，使運算結(jié)果為空集 ，則這個運算表達式可以是_______（只要寫出一個表達式）.
⑵（2002年上海春季高考題）若全集U＝R，f(x)、g(x)均為x的二次函數(shù)，P= ，則不等式組 的解集可用P、Q表示為 .
解：⑴此題是開放性試題，如圖，
極易得到其多種答案：
① UQ∩P；
②P∩( UP∩Q)；
③ UQ∩(P∪Q)；等等.
⑵由補集定義，得 UQ＝ x│g(x)＜0 ，則不等式組 的解集就是P與 UQ的交集，即表示為P∩ UQ.
五、閱讀理解型
題型特點：以集合內(nèi)容為背景即時設計一個陌生的問題情景，要求學生在理解的基礎上作答．
例8(2014年浙江高考題)設f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，記 ＝{n∈Nf(n)∈P}， ＝{n∈Nf(n)∈Q}，則( ∩ )∪( ∩ )＝( )
(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
解：(理解新定義)由 ＝{n∈Nf(n)∈P}＝{0，1，2}， ＝{n∈Nf(n)∈Q}＝(1，2，3}，則有 ∩ ＝{0}， ∩ ＝{3}．
∴ ( ∩ )∪( ∩ )＝{0，3}，故選(A)．
點評：這是集合新定義題，“ 、 ”是學生在中學不曾學過的一種集合運算，應緊扣集合中元素的屬性來解題，即求出 、 ，再運算．
類題：
1．(2014年湖北高考題)設P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q= ，則P+Q中元素的個數(shù)是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．(2014年遼寧高考題) 是正實數(shù)，設 是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù) ， 的元素不超過2個，且有 使 含2個元素，則 的取值范圍是 .
[答案：1．(B) 2． ]
三、命題趨向
集合內(nèi)容將以集合運算為重點進行考查，在2014年高考中將仍以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，其難度在0.7左右，同時要注意集合思想的應用及集合與其它知識的交匯，展示以集合語言為背景的應用性、開放性試題，具有構(gòu)思巧妙、新穎、解法靈活特點，將會是未來高考“出活題、考能力”的命題趨向．
四、備考建議
一、注重基礎，注意辨析
對于集合的復習，首先要注重基礎，熟練掌握集合間的關系(子集與真子集)的判定方法，集合間的運算 學習規(guī)律；同時，還要對集合的有關概念和符號進行辨析，只有準確把握它們，才不會在高考中掉進命題者設計的陷阱之中．
首先，要明確集合元素的意義，弄清集合由哪些元素所組成，這就需要對集合的文字語言，符號語言，圖形語言進行相互轉(zhuǎn)化．
其次，由于集合知識概念新，符號多，往往顧此失彼，因此需要注意如下幾個方面的問題：一是注意集合元素的三性(確定性，互異性，無序性)；二要注意0，{0}， ，{ }的關系，數(shù)字0不是集合，{0}是含有一個元素0的集合，而 是不含任何元素的集合，{ }則是以 為元素的集合；三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解題過程中極易被忽視；四要注意符號“∈”與“ ”(或 )的區(qū)別，符號“∈”表示元素與集合之間的從屬關系，“ ” (或 )表示集合與集合之間的包含關系．
二、不可忽視集合的交匯性及創(chuàng)新性問題
對集合的重點復習是集合間的關系判定以及集合間的運算問題．其中關系判定以及集合間的運算問題，常常是集合內(nèi)容與不等式等內(nèi)容進行交匯，故應熟練掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含參不等式，指對數(shù)不等式等的解法．但也有可能考查較為靈活的非常規(guī)的開放題，探究題，信息遷移題等創(chuàng)新題．其實也是近年高考在集合方面的一個新命題背景，特別是定義新運算．如已知集合A＝{0，2，3}，定義集合運算A※A＝{xx＝a•b，a∈A，b∈A}，則A※A＝_________．此類關鍵是理解新運算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}．
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