一位日本的數(shù)學(xué)教育家曾經(jīng)提出：無(wú)論科技工作者，教育工作者，或是社會(huì)的其他人才，最重要的是要有數(shù)學(xué)的精神與思想方法，而數(shù)學(xué)知識(shí)則是第二位的。這與我國(guó)古代教育家提出的“授之以魚(yú)，不如授之以漁”的思想實(shí)質(zhì)上是一致的。

在具體的數(shù)學(xué)思想方法中，“化歸思想”又是世界數(shù)學(xué)家們都十分重視的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)�，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接對(duì)問(wèn)題展開(kāi)攻擊，而是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)（些）已經(jīng)解決的問(wèn)題，或容易解決的問(wèn)題。匈牙利著名數(shù)學(xué)家P•羅莎曾用以下比喻十分生動(dòng)地說(shuō)明了化歸思想的實(shí)質(zhì)。她寫(xiě)道：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”接著，羅莎又提出第二個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時(shí)你應(yīng)該怎樣去做？”對(duì)此，人們往往回答說(shuō)：“點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。”但羅莎卻認(rèn)為這并不是最好的回答，因?yàn)椋?ldquo;只有物理學(xué)家才會(huì)這樣做，而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒去壺中的水，并且聲稱(chēng)我已經(jīng)把后一問(wèn)題化歸成先前的問(wèn)題了，而先前的問(wèn)題我已回答。”

“把水倒掉”——這是多么簡(jiǎn)潔的回答呀！比喻有點(diǎn)夸張，但它的確表明了數(shù)學(xué)家思考與解決問(wèn)題的一個(gè)特點(diǎn)，與其他應(yīng)用科學(xué)家相比，他們更善于使用化歸思想。

下面還是讓我們用一些例題來(lái)說(shuō)明。
例1 雞兔同籠，籠中有頭50，有足140，問(wèn)雞、兔各有幾只？
分析 化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問(wèn)題，這里可以先對(duì)已知成分進(jìn)行變形。每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，這是問(wèn)題中不言而喻的已知成分。現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題中的已知成分進(jìn)行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨(dú)立狀），又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月?tīng)睿�。那么，籠中仍有頭50，而腳只剩下70只了，并且，這時(shí)雞的頭數(shù)與足數(shù)相等，而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等——有一頭兔，就多出一只腳，現(xiàn)在有頭50，有足70，這就說(shuō)明有兔20頭，有雞30頭。（我國(guó)古代算法書(shū)上就是這樣解的）

以上是從變更題設(shè)條件來(lái)尋找化歸方法的。下例則是從變更任務(wù)來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸目的。
例2 有18瓶牛奶分放在4×6=24個(gè)方格內(nèi)，每格只能放一瓶，在數(shù)牛奶瓶時(shí)要求橫數(shù)的瓶數(shù)為偶數(shù)，豎數(shù)的瓶數(shù)也為偶數(shù)，這件事能辦到嗎？

[注] 這個(gè)問(wèn)題是1984年國(guó)際數(shù)學(xué)教育與計(jì)算機(jī)教育會(huì)議上，一位英國(guó)朋友在小組討論時(shí)提出的。當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不相容的答案：“這件事能辦到”與“這件事不能辦到”。
分析 不妨試放一下（請(qǐng)用鉛筆在小方格內(nèi)打上試放符號(hào)“○”，并給出你的答案。）

可能屢試不成——瓶太多了，很難照顧全面。因此，能否用化歸思想變更題目的任務(wù)：在4×6=24個(gè)方格內(nèi)打上24－18=6個(gè)不放牛奶瓶的符號(hào)（用“×”表示）。余下工作請(qǐng)讀者自己完成，這時(shí)你的結(jié)論一定是：這件事不僅一定能辦到，而且放置奶瓶的方法有多種，請(qǐng)你至少給出3種。

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