初一時，我們認識了負數(shù)，使數(shù)的范圍擴展到了有理數(shù)，初二，我們又開始學(xué)習(xí)了無理數(shù)，把數(shù)的范圍再一次擴展到了實數(shù)。剛剛學(xué)習(xí)無理數(shù)，認為無理數(shù)不象有理數(shù)那樣，直觀易懂，總有一種虛幻的感覺，其次，無理數(shù)和有理數(shù)一樣，有自己的鮮明特征。那么怎樣學(xué)習(xí)無理數(shù)呢？請同學(xué)們注意以下四個方面。

一.明確無理數(shù)的存在
無理數(shù)來自實踐，無理數(shù)并不“無理”，也不是人們臆想出來的，它是實實在在存在的，例如：
（1）一個直角三角形，兩條直角邊長分別為1和2，由勾股定理知，它的斜邊長為 ；
（2）任何一個圓，它的周長和直徑之比為一常數(shù) 等等；
像 這樣的數(shù)，在我們周圍的生活中，不是只有少數(shù)幾個，而是像有理數(shù)一樣有無限個。

二.弄清無理數(shù)的定義
教材中指出：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，這說明無理數(shù)是具有兩個基本特征的小數(shù)：一是小數(shù)位數(shù)是無限的；二是不循環(huán)的。這對初學(xué)者來說有一定難度，因此，我們必須掌握它的表現(xiàn)形式。

三.掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式
在初中階段，無理數(shù)表現(xiàn)形式主要有以下幾種：
1.無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001……（兩個1之間依次多一個0）
2.含 的數(shù)，如： ， ， 等。
3.開方開不盡而得到的數(shù)，如 ， 等。
4.某些三角函數(shù)值：如 ， 等。

四.辨別一些模糊認識
1.無限小數(shù)都是無理數(shù)
無限小數(shù)分：為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，其中無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，只有無限不循環(huán)的小數(shù)才是無理數(shù)。

2.無理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù)和零。
受思維習(xí)慣的影響，有些同學(xué)錯誤認為正無理數(shù)與負無理數(shù)之間應(yīng)有零，零也是無理數(shù)，其實零是一個有理數(shù)，因此，無理數(shù)只分為正無理數(shù)和負無理數(shù)兩類。

3.帶根號的數(shù)是無理數(shù)。
是有理數(shù)2， 是有理數(shù)－2，可見帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)。

4.無理數(shù)是用根號形式表示的數(shù)。
是無理數(shù)，但并不是用根號形式表示的，再如：0.1010010001……（兩個1之間依次多一個），亦為不帶根號的無理數(shù)。

5.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)。
無理數(shù)并非由開方的結(jié)果來定義的，事實上，如 ，0.232232223……，等無理數(shù)，都不是由開方得到的。

6.兩個無理數(shù)的和、差、積、商仍是無理數(shù)。
兩個無理數(shù)的和，差，積，商不一定是無理數(shù)，如：
等都是有理數(shù)。

7.無理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無理數(shù)。
這種說法是錯誤的！
由 等似乎易見無理數(shù)與有理數(shù)的積是無理數(shù)，就下肯定結(jié)論，錯了！
如 等足以推翻以上結(jié)論。

8.有些無理數(shù)是分數(shù)。
因為分數(shù)屬于有理數(shù)，且無理數(shù)與有理數(shù)是兩類不同的數(shù)，所以說，無理數(shù)不可能寫成分數(shù)，當然，有些無理數(shù)可以借助分數(shù)線來表示。
如 ，但一定要注意它并不是分數(shù)。

9.無理數(shù)比有理數(shù)少。
這種說法錯誤，無理數(shù)在人們生產(chǎn)和生活中使用的少一些，但并不是說無理數(shù)就少一些，我們平常的計算中沒有特別需要時，習(xí)慣地把一些無理數(shù)按要求通過取近似值的方法用有理數(shù)來表示，這樣似乎就覺得使用無理數(shù)少一些，實際上，無理數(shù)也有無限個且比有理數(shù)多得多。

10.一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù)。
這種說法錯誤，不要誤認為只有 等無理數(shù)，如 等也是無理數(shù)，顯然 等不是有理數(shù)。

 

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