【—實(shí)數(shù)的重要】按性質(zhì)分類是：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0，按定義分類是：有理數(shù)、無理數(shù)。
實(shí)數(shù)
實(shí)數(shù)可以用通過收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。這里給出其中一種，其他方法請?jiān)斠妼?shí)數(shù)的構(gòu)造。
公理的方法
設(shè) R 是所有實(shí)數(shù)的集合，則：
集合 R 是一個(gè)域： 可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。
域 R 是個(gè)有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對所有實(shí)數(shù) x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。
最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因?yàn)?√2 不是有理數(shù))。
實(shí)數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個(gè)有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。
相關(guān)性質(zhì)基本運(yùn)算
實(shí)數(shù)可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方等，對非負(fù)數(shù)(即正數(shù)和0)還可以進(jìn)行開方運(yùn)算。實(shí)數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。任何實(shí)數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)，只有非負(fù)實(shí)數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。
四則運(yùn)算封閉性
實(shí)數(shù)集R對加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四則運(yùn)算具有封閉性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是實(shí)數(shù)。
實(shí)數(shù)集有序性
實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b必定滿足下列三個(gè)關(guān)系之一：ab.
實(shí)數(shù)的傳遞性
實(shí)數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
實(shí)數(shù)的阿基米德性
實(shí)數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即對任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.
實(shí)數(shù)的稠密性
實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).
實(shí)數(shù)唯一性
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较?通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個(gè)單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實(shí)數(shù)都對應(yīng)與數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn);反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都唯一的表示一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)的關(guān)系。
完備性
作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì)：
所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。
有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限 √2。實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuzhong/194512.html
相關(guān)閱讀：關(guān)于初中數(shù)學(xué)分層作業(yè)的嘗試