【—三角形的半角定理公式】簡單解釋就是利用某個角(如A)的正弦來求某個角的半角(如A/2)的正弦的公式。

　　三角形的半角定理

　　做三角形內(nèi)切圓，在AB,AC,BC邊上的切點分別為D，E，F(xiàn) l=(a+b+c)/2

　　則有r=(l-a)tan(A/2)=(l-b)tan(B/2)=(l-c)tan(C/2)

　　半角定理還可以寫成tanA/2=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanB/2=[1/(s-b)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanC/2=[1/(s-c)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。

　　其中A、B、C為三角形內(nèi)角的符號，s=1/2(a+b+c)

　　證明：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，得

　　1-cosA=(2ab-b^2-c^2+a^2)/2bc=[a^2-(b-c)^2]/2bc=(a+b-c)(a-b+c)/2bc

　　1+cosA= (2ab+b^2+c^2-a^2)/2bc=[(b+c)^2-a^2]/2bc=(a+b+c)(b+c-a)/2bc

　　設a+b+c=2s，那么-a+b+c=2(s-a)，a-b+c=2(s-b)，a+b-c=2(s-c)。

　　因此上面結(jié)論可以寫成：1-cosA=2(s-c)2(s-b)/2bc=2(s-b)(s-c)/bc

　　1+cosA=2s2(s-a)/2bc=2s(s-a)/bc。

　　因為A/2是銳角，所以把上面所得到的結(jié)果代入公式tanA/2=√(1-cos

　　A)/(1+cosA)，就可以得到tanA/2=√[(s-b)(s-c)/s(s-a)]。

　　又因為s-a>0，所以上面的式子還可以寫成：tanA/2=√[(s-a)(s-b)(s-c)/s(s-a)^2]=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。由此便證明了半角定理。

　　半角定理和三角函數(shù)的半角公式內(nèi)容不同，大家不要弄混淆了。

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