蚌埠二中2011—2012學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)試題（理科）
（考試時間：120分鐘 試卷分值：150分）

注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的A、B、C、D
的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將正確答案的字母代號涂到答題卡
1.命題“若x2+y2=0，則x,y全為0”的否命題是 （ ）
A.若x2+y2≠0,則x,y全不為0.B.若x2+y2≠0，則x,y不全為0.
C.若x2+y2≠0,則x,y至少有一個為0.D.若x,y不全為0，則x2+y2≠0.
2. 下列有關(guān)命題的說法正確的是 （ ）
A．若 為真命題，則 均為真命題
B．命題“ ， ”的否定是“ , ”
C． “ ”是“方程 表示橢圓”的充要條件
D．“直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件
3. 已知曲線 上過點(diǎn)（2，8）的切線方程為 ，則實(shí)數(shù) 的值為（ ）
A． －1 　　 B． 1 　 C． －2 　　 D． 2
4.給出下列命題：
①直線 的方向向量為 ，直線 的方向向量為 則
②直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ， 則 .
③平面 的法向量分別為 ，則 .
④平面 經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量 是平面 的法向量，則u＋t＝1.其中真命題的序號是 （ ）
A．②③ B．①④ C．③④ D．①②
5．設(shè)命題p： R， ， 則命題p為真命題的充分非必要條件的是（ ）
A． B． C． D．

6．已知 ，點(diǎn) 在 所在的平面內(nèi)運(yùn)動且保持 ，則 的最大值和最小值分別是 ( )
A． 和 　 B．10和2　　 　 C．5和1 D．6和4
7.若點(diǎn) 在平面 內(nèi)，且滿足 (點(diǎn) 為空間任意一點(diǎn)),則拋物線 的準(zhǔn)線方程是 （ ）
A. B. C. D.
8．已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( )
A．[1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
9.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中位置時，拱頂離水面2米，
水面寬4米.水下降1米后，水面寬為(　　)
A. 米 B． 米 C. 米 D. 米
10．已知拋物線 的焦點(diǎn) 與橢圓 的一個焦點(diǎn)重合，它們在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 ，且 與 軸垂直，則橢圓的離心率為 （ ）
A． 　　　�。拢� 　　　�。茫� 　　　�。模�
第Ⅱ卷（與解答題，共100分）

二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。請將答案直接填在題中橫線上。
11．已知 , ( 兩兩互相垂直)，那么 = ，
12．設(shè)橢圓C1的離心率為 ，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _____________。
13．直線l： 與橢圓 相交A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動點(diǎn)，則 面積的最大值為 。
14. 過點(diǎn) 且被點(diǎn) 平分的雙曲線 的弦所在直線方程為 _.
15． 為過拋物線 焦點(diǎn) 的一條弦，設(shè) ，以下結(jié)論正確的是____________________,
① 且 ② 的最小值為 ③以 為直徑的圓與 軸相切；
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出說明字、演算式、證明步驟。
16.(本小題滿分12分) 設(shè)命題 ：方程 表示的圖象是雙曲線；命題 ： ， ．求使“ 且 ”為真命題時，實(shí)數(shù) 的取值范圍．

17.（本小題滿分12分）三棱柱 中， 分別是 、 上的點(diǎn)，
且 ， 。設(shè) ， ， .
（Ⅰ）試用 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ， ，
，求N的長.。

18. （本小題共12分）已知拋物線 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 ： 的一個焦點(diǎn) 且垂直于 的兩個焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線 與雙曲線 的一個交點(diǎn)是 ．
（Ⅰ）求拋物線 的方程及其焦點(diǎn) 的坐標(biāo)； （Ⅱ）求雙曲線 的方程及其離心率 ．

19．（本小題滿分13分）已知平面四邊形 的對角線 交于點(diǎn) ， ，且 ， ， ．現(xiàn)沿對角線 將三角形 翻折，使得平面 平面 ．翻折后：
（Ⅰ）證明： ；
（Ⅱ）記 分別為 的中點(diǎn)．
①求二面角 大小的余弦值； ②求點(diǎn) 到平面 的距離

20．(本小題滿分13分)已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a>b>0)上的點(diǎn)(1, 32)到它的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，A、B分別是它的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)。
(Ⅰ)求此橢圓的方程及離心率；
(Ⅱ)平行于AB的直線l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求PQ的最大值及此時直線l的方程。

21．（本小題共13分）
已知拋物線 直線 過拋物線的焦點(diǎn) 且與該拋物線交于 、 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）
（Ⅰ）若 ，求直線 的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn) 的拋物線的切線與直線 交于點(diǎn) ，求證： 。

蚌埠二中2011—2012學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)（理科）參考答案
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
12345678910
BDBBBCACDB

第II卷（非選擇題 共100分）
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分. ）
11、-65 12、 13、 14、 15、①②③

三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出字說明，證明過程或演算步驟。
16. 實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．

17．（Ⅰ）
。
（Ⅱ）
，
， 。

18. （Ⅰ）拋物線 的方程為 于是焦點(diǎn)
（Ⅱ）拋物線 的準(zhǔn)線方程為 ，所以， 而雙曲線 的另一個焦點(diǎn)為 ，于是
因此， 又因?yàn)?，所以 ．于是，雙曲線 的方程 為 因此，雙曲線 的離心 ．

19、(Ⅰ)證明略
(II)①二面角 大小的余弦值為
,
②點(diǎn) 到平面 的距離為 .

20. 解：(Ⅰ)由題意得2a＝4，∴a＝2將(1, 32)代入橢圓方程得：14＋94b2＝1
∴b2＝3，因此所求橢圓方程為x24＋y23＝1其離心率e＝ca＝12
(Ⅱ)由題意，直線l的斜率k＝kAB＝3?00?(?2)＝32
∴設(shè)l的方程為y＝32x＋ 由y＝32x＋x24＋y23＝1得6x2＋43x＋42－12＝0
由＝482－24(42－12)＞0得6＜＜6，x1＋x2＝233，x1x2＝22－63
∴PQ＝(1+34)[(x1+x2)2－4x1x2]＝73(62)∴當(dāng)＝0時，PQax＝14
∴l(xiāng)的方程為y＝32x∴PQ的最大值為14，此時l的方程為y＝32x

21. （Ⅰ）解：設(shè) ， 若 軸，則 不適合
故設(shè) ，代入拋物線方程得
由 得 直線 的方程為
（Ⅱ）當(dāng) 時 切線的方程： 得


即

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