2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）
數(shù)學(xué)（文科A卷）解析
從今以后，不再是大學(xué)特學(xué)綜合科，而是大學(xué)特學(xué)數(shù)學(xué)科了！讓別的科扼殺學(xué)生的能力吧，數(shù)學(xué)出基礎(chǔ)題就好——感恩廣東今年數(shù)學(xué)出題老師
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
錐體的體積公式： ．其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．
一、：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合 ， ，則
A． B． C． D．
【解析】：先解兩個(gè)一元二次方程，再取交集，選A，5分到手，妙！
2．函數(shù) 的定義域是
A． B． C． D．
【解析】：對數(shù)真數(shù)大于零，分母不等于零，目測C！
3．若 ， ，則復(fù)數(shù) 的模是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等，目測 ，模為5，選D.
4．已知 ，那么
A． B． C． D．
【解析】：考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式， ，選C.
5．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，若輸入 的值為3，則輸出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】選C.本題只需細(xì)心按程序框圖運(yùn)行一下即可.
6．某三棱錐的三視圖如圖2所示，則該三棱錐的體積是
A． B． C． D．
【解析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則 ，選B.
7．垂直于直線 且與圓 相切于第一象限的直線方程是
A． B．
C． D．
【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直接由選項(xiàng)判斷很快，圓心到直線的距離等于 ，排除B、C；相切于第一象限排除D，選A.直接法可設(shè)所求的直線方程為： ，再利用圓心到直線的距離等于 ，求得 .
8．設(shè) 為直線， 是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是
A．若 ， ，則 B．若 ， ，則
C．若 ， ，則 D．若 ， ，則
【解析】基礎(chǔ)題，在腦海里把線面可能性一想，就知道選B了.
9．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為 ，離心率等于 ，則C的方程是
A． B． C． D．
【解析】基礎(chǔ)題， ，選D.
10．設(shè) 是已知的平面向量且 ，關(guān)于向量 的分解，有如下四個(gè)命題：
①給定向量 ，總存在向量 ，使 ；
②給定向量 和 ，總存在實(shí)數(shù) 和 ，使 ；
③給定單位向量 和正數(shù) ，總存在單位向量 和實(shí)數(shù) ，使 ；
④給定正數(shù) 和 ，總存在單位向量 和單位向量 ，使 ；
上述命題中的向量 ， 和 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
【解析】本題是中的壓軸題，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法則.
利用向量加法的三角形法則，易的①是對的；利用平面向量的基本定理，易的②是對的；以 的終點(diǎn)作長度為 的圓，這個(gè)圓必須和向量 有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，③是錯(cuò)的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須 ，所以④是假命題.綜上，本題選B.平面向量的基本定理考前還強(qiáng)調(diào)過，不懂學(xué)生做得如何.
【品味選擇題】文科選擇題答案：ACDCC BABDB.選擇題3322再次出現(xiàn)！今年的選擇題很基礎(chǔ)，希望以后高考年年出基礎(chǔ)題！
二、題：本大題共5小題．考生 作答4小題．每小題5分，滿分20 分．
（一）必做題（11～13題）
11．設(shè)數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，則
【解析】這題相當(dāng)于直接給出答案了
12．若曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸，則 ．
【解析】本題考查切線方程、方程的思想.依題意
13．已知變量 滿足約束條件 ，則 的最大值是．
【解析】畫出可行域如圖，最優(yōu)解為 ，故填 5 ；
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
已知曲線 的極坐標(biāo)方程為 ．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線 的參數(shù)方程為 ．
【解析】本題考了備考弱點(diǎn).講參數(shù)方程的時(shí)候，參數(shù)的意義要理解清楚.先化成直角坐標(biāo)方程 ，易的則曲線C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）
15．（幾何證明選講選做題）
如圖3，在矩形 中， ， ，垂足為 ，則 ．
【解析】本題對數(shù)值要敏感，由 ，可知
從而 ，
.
【品味題】選做題還是難了點(diǎn)，比理科還難些.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ．
(1) 求 的值；
(2) 若 ，求 ．
【解析】(1)
（2） ， ，
．
【解析】這個(gè)題實(shí)在是太簡單，兩角差的余弦公式不要記錯(cuò)了.

17．（本小題滿分13分）
從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：
分組（重量）

頻數(shù)（個(gè)）5102015
(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在 的頻率；
(2) 用分層抽樣的方法從重量在 和 的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在 的有幾個(gè)？
(3) 在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在 和 中各有1個(gè)的概率．
【解析】（1）蘋果的重量在 的頻率為 ；
（2）重量在 的有 個(gè)；
（3）設(shè)這4個(gè)蘋果中 分段的為1， 分段的為2、3、4，從中任取兩個(gè)，可能的情況有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6種；設(shè)任取2個(gè)，重量在 和 中各有1個(gè)的事件為A，則事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3種，所以 .
【解析】這個(gè)基礎(chǔ)題，我只強(qiáng)調(diào)：注意格式！

18．（本小題滿分13分）
如圖4，在邊長為1的等邊三角形 中， 分別是 邊上的點(diǎn)， ， 是 的中點(diǎn)， 與 交于點(diǎn) ，將 沿 折起，得到如圖5所示的三棱錐 ，其中 ．
(1) 證明： //平面 ；
(2) 證明： 平面 ；
(3) 當(dāng) 時(shí)，求三棱錐 的體積 ．
【解析】（1）在等邊三角形 中，
,在折疊后的三棱錐 中
也成立， , 平面 ，
平面 ， 平面 ；
（2）在等邊三角形 中， 是 的中點(diǎn)，所以 ①， .
在三棱錐 中， ， ②
；
（3）由（1）可知 ，結(jié)合（2）可得 .

【解析】這個(gè)題是入門級的題，除了立體幾何的內(nèi)容，還考查了平行線分線段成比例這個(gè)平面幾何的內(nèi)容.

19．（本小題滿分14分）
設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，滿足 且 構(gòu)成等比數(shù)列．
(1) 證明： ；
(2) 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
(3) 證明：對一切正整數(shù) ，有 ．
【解析】（1）當(dāng) 時(shí)， ，
（2）當(dāng) 時(shí)， ，
,
當(dāng) 時(shí)， 是公差 的等差數(shù)列.
構(gòu)成等比數(shù)列， ， ，解得 ,
由（1）可知，
是首項(xiàng) ,公差 的等差數(shù)列.
數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
（3）

【解析】本題考查很常規(guī)，第（1）（2）兩問是已知 求 ， 是等差數(shù)列，第（3）問只需裂項(xiàng)求和即可，估計(jì)不少學(xué)生猜出通項(xiàng)公式，跳過第（2）問，作出第（3）問.本題易錯(cuò)點(diǎn)在分成 ， 來做后，不會求 ，沒有證明 也滿足通項(xiàng)公式.
20．（本小題滿分14分）
已知拋物線 的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn) 到直線 的距離為 ．設(shè) 為直線 上的點(diǎn)，過點(diǎn) 作拋物線 的兩條切線 ，其中 為切點(diǎn)．
(1) 求拋物線 的方程；
(2) 當(dāng)點(diǎn) 為直線 上的定點(diǎn)時(shí)，求直線 的方程；
(3) 當(dāng)點(diǎn) 在直線 上移動時(shí)，求 的最小值．
【解析】（1）依題意 ，解得 （負(fù)根舍去）
拋物線 的方程為 ；
（2）設(shè)點(diǎn) , ， ，
由 ,即 得 .
∴拋物線 在點(diǎn) 處的切線 的方程為 ，
即 .
∵ ， ∴ .
∵點(diǎn) 在切線 上, ∴ . ①
同理， . ②
綜合①、②得，點(diǎn) 的坐標(biāo)都滿足方程 .
∵經(jīng)過 兩點(diǎn)的直線是唯一的，
∴直線 的方程為 ，即 ；
（3）由拋物線的定義可知 ，
所以
聯(lián)立 ，消去 得 ，


當(dāng) 時(shí)， 取得最小值為
【解析】2013廣州模直接命中了這一題，廣一模20題解法2正是本科第（2）問的解法，并且廣一模大題結(jié)構(gòu)和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是個(gè)蓋世英雄，有一天他會踩著七色云彩來娶我，我只猜中了前頭，可是我卻猜不中這結(jié)局……形容這次高考，妙極！

21．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù) ．
(1) 當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)當(dāng) 時(shí)
, 在 上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng) 時(shí)， ，其開口向上，對稱軸 ，且過
（i）當(dāng) ，即 時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞增，
從而當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 ,
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 .
（ii）當(dāng) ，即 時(shí)，令
解得： ,注意到 ,
(注：可用韋達(dá)定理判斷 ， ,從而 ；或者由對稱結(jié)合圖像判斷)


的最小值 ,

的最大值
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 的最小值 ,最大值
解法2（2）當(dāng) 時(shí)，對 ，都有 ，故
故 ，而 ，
所以 ，
【解析】：看著容易，做著難！常規(guī)解法完成后，發(fā)現(xiàn)不用分類討論，奇思妙解也出現(xiàn)了：結(jié)合圖像感知 時(shí)最小， 時(shí)最大，只需證 即可，避免分類討論.本題第二問關(guān)鍵在求最大值，需要因式分解比較深的功力，這也正符合了2012年高考年報(bào)的“對中學(xué)教學(xué)的要求——重視高一教學(xué)與初中課堂銜接課”.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/148591.html

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