數(shù) 學 試 卷（理科）
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．)
（1）已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
（2）已知命題 ， ，那么下列結論正確的是
A. 命題 B．命題
C．命題 D．命題
(3)圓 的圓心到直線 （ 為參數(shù)）的距離為
A. B.1 C. D.
(4)設 與拋物線 的準線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為 ， 為 內的一個動點，則目標函數(shù) 的最大值為
A. B. C. D.
(5) 在區(qū)間 上隨機取一個數(shù) ，則事件“ ”發(fā)生的概率為
A. B. C. D.
(6) 已知四棱錐 的三視圖如圖所示，
則此四棱錐的四個側面的面積中最大的是
（7）如圖，在邊長為2的菱形
中， ， 為 的中點，
則 的值為
A．1 B． C． D．
(8)設等比數(shù)列 的公比為 ，其前 項的積為 ，并且滿足條件 ， ， .給出下列結論：
① ； ② ；
③ 的值是 中最大的；④ 使 成立的最大自然數(shù) 等于198.
其中正確的結論是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
一、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9）二項式 的展開式中 的系數(shù)為___________.
（10）雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則 .
（11） 如圖， 切圓 于點 , 為圓 的直徑，
交圓 于點 ， 為 的中點，且
則 __________；
__________.
（12）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，
若①是 時，輸出的 值為 ；
若①是 時，輸出的 值為 .
（13）已知函數(shù)
若關于 的方程 有兩個不同的實根，則實數(shù) 的取值范圍是 .
（14）曲線 是平面內到直線 和直線 的距離之積等于常數(shù) 的點的軌跡.給出下列四個結論：
①曲線 過點 ；
②曲線 關于點 對稱；
③若點 在曲線 上，點 分別在直線 上，則 不小于
④設 為曲線 上任意一點，則點 關于直線 、點 及直線 對稱的點分別為 、 、 ，則四邊形 的面積為定值 .
其中，所有正確結論的序號是 .
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
（16）（本小題滿分14分）
如圖,在四棱錐 中,底面 是邊長為 的正方形,
側面 底面 ，且 ,
、 分別為 、 的中點．
(Ⅰ) 求證： //平面 ；
(Ⅱ) 求證：面 平面 ；
(Ⅲ) 在線段 上是否存在點 使得
二面角 的余弦值為 ？說明理由.
（17）（本小題滿分13分）
某市為了提升市民素質和城市文明程度，促進經(jīng)濟發(fā)展有大的提速，對市民進行了“生活滿意”度的調查．現(xiàn)隨機抽取40位市民，對他們的生活滿意指數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到如下分布表：
滿意級別 非常滿意 滿意 一般 不滿意
滿意指數(shù)（分） 90 60 30 0
人數(shù)（個） 15 17 6 2
（I）求這40位市民滿意指數(shù)的平均值；
（II）以這40人為樣本的滿意指數(shù)來估計全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選3人，記 表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù)．求 的分布列；
（III）從這40位市民中，先隨機選一個人，記他的滿意指數(shù)為 ，然后再隨機選另一個人，記他的滿意指數(shù)為 ，求 的概率．
（18）（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）若 求 在 處的切線方程；
（Ⅱ）求 在區(qū)間 上的最小值；
（III）若 在區(qū)間 上恰有兩個零點，求 的取值范圍.
（19）（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓 的長軸為 ，過點 的直線 與 軸垂直，橢圓的離心率 ， 為橢圓的左焦點，且 .
（I）求此橢圓的方程；
（II）設 是此橢圓上異于 的任意一點， 軸， 為垂足，延長 到點 使得 . 連接 并延長交直線 于點 為 的中點，判定直線 與以 為直徑的圓 的位置關系．
（20）（本小題滿分14分）
設數(shù)列 對任意 都有 (其中 、 、 是常數(shù)) ．
（I）當 ， ， 時，求 ；
（II）當 ， ， 時，若 ， ，求數(shù)列 的通項公式；
（III）若數(shù)列 中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當 ， ， 時，設 是數(shù)列 的前 項和， ，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ，使得對任意 ，都有 ，且 ．若存在，求數(shù)列 的首項 的所有取值；若不存在，說明理由．
昌平區(qū)2014－2013學年第二學期高三年級期第二次質量抽測
數(shù) 學 試卷 參考答案（理科）
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．)
題 號 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案 C B A D CC A B
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）
（9） （10）
（11） ； （12） ；
（13） （14） ②③④
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）(本小題滿分13分)
解：（Ⅰ） ..4分
..6分
（Ⅱ） 的最小正周期 .…………………………8分
又由 可得
函數(shù) 的單調遞增區(qū)間為 .………13分
（16）(本小題滿分14分)
(Ⅰ)證明：連結 ，
為正方形， 為 中點，
為 中點.
∴在 中， // ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且 平面 ， 平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)證明：因為平面 平面 ， 平面 面
為正方形， ， 平面
所以 平面 .
∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 即
，且 、 面
面
又 面 ，
∴面 面 .…………..9分
(Ⅲ) 如圖,取 的中點 , 連結 , .
∵ , ∴ .
∵側面 底面 ,
,
∴ ,
而 分別為 的中點,∴ ,
又 是正方形,故 .
∵ ,∴ , .
以 為原點,直線 分別為 軸建立空間直角坐標系,
則有 , , , .
若在 上存在點 使得二面角 的余弦值為 ，連結
設 .
由(Ⅱ)知平面 的法向量為 .
設平面 的法向量為 .∵ ,
∴由 可得 ,令 ,則 ,
故 ∴ ,
解得， .
所以，在線段 上存在點 ,使得二面角 的余弦值為 .
.．．．．．．．．．．．．．14分
（17）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）記 表示這40位市民滿意指數(shù)的平均值，則
（分）…………………2分
（Ⅱ） 的可能取值為0、1、2、3.
的分布列為
12
……………8分
（Ⅲ）設所有滿足條件 的事件為
①滿足 的事件數(shù)為：
②滿足 的事件數(shù)為：
③滿足 的事件數(shù)為：
所以滿足條件 的事件的概率為 .……………………13分
（18）（本小題滿分13分）
解：（I）
在 處的切線方程為 ………………………..3分
（Ⅱ）由
由 及定義域為 ，令
①若 在 上， ， 在 上單調遞增，
因此, 在區(qū)間 的最小值為 .
②若 在 上， ， 單調遞減；在 上， ， 單調遞增，因此 在區(qū)間 上的最小值為
③若 在 上， ， 在 上單調遞減，
因此, 在區(qū)間 上的最小值為 .
綜上，當 時， ；當 時， ；
當 時， . ……………………………….9分
(III) 由（II）可知當 或 時， 在 上是單調遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點.
當 時，要使 在區(qū)間 上恰有兩個零點，則
∴ 即 ，此時， .
所以， 的取值范圍為 …………………………………………………………..13分
（19）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意可知， , ， ，
又 ， ，解得
所求橢圓方程為 …………………………5分
（Ⅱ）設 ，則
由
所以直線 方程
由 得直線
由
又點 的坐標滿足橢圓方程得到： ，
所以
直線 的方程：
化簡整理得到： 即
所以點 到直線 的距離
直線 與 為直徑的圓 相切.……………………………………. 13分
（20）（本小題滿分14分）
解：（I）當 ， ， 時，
， ①
用 去代 得， ， ②
②?①得， ， ，……………………………2分
在①中令 得， ，則 0，∴ ，
∴數(shù)列 是以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴ = ………………………………………………….4分
（II）當 ， ， 時， ， ③
用 去代 得， ， ④
④?③得， ， ⑤.
用 去代 得， ， ⑥
⑥?⑤得， ，即 ，.
∴數(shù)列 是等差數(shù)列.∵ ， ，
∴公差 ，∴ …………………………………………9分
（III）由（II）知數(shù)列 是等差數(shù)列，∵ ，∴ .
又 是“封閉數(shù)列”，得：對任意 ，必存在 使
，
得 ，故 是偶數(shù)，10分
又由已知， ，故 .一方面，當 時， ，對任意 ，都有 .
另一方面，當 時， ， ，
則 ，
取 ，則 ，不合題意.
當 時， ， ，則
，
當 時， ， ，
，
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/75678.html
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