數(shù)學(xué)Ⅰ
參考公式：樣本數(shù)據(jù) 的方差 ，其中 ；
錐體的體積公式： ，其中 為錐體的底面面積， 是高．
一、題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．
1. 已知 是虛數(shù)單位，若 ，則 的值為 ▲ ．
2. 某射擊選手連續(xù)射擊 槍命中的環(huán)數(shù)分別為： , , , , ，
則這組數(shù)據(jù)的方差為 ▲ ．
3. 右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的 的值是 ▲ ．
4. 若集合 ， ，則 ▲ ．
5. 方程 表示雙曲線的充要條件是 ▲ ．
6．在 中，已知 ， ，則 的值是 ▲ ．
7. 已知實(shí)數(shù) 滿足 則 的最小值是 ▲ ．
8. 已知 是等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，若 ， ，則數(shù)列 的前20項(xiàng)和為 ▲ ．
9. 已知三棱錐 的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿 ， ， 三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為 ，則三棱錐 的體積為 ▲ ．
10．已知 為 的外心，若 ，則 等于 ▲ ．
11. 已知數(shù)字發(fā)生器每次等可能地輸出數(shù)字 或 中的一個(gè)數(shù)字，則連續(xù)輸出的 個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率是 ▲ ．
12. 若 ，且 ，則 的最小值為 ▲ ．
13．已知函數(shù) 若 ，且 ，則 的取值范圍是 ▲ ．
14. 已知曲線 ： ，直線 ： ，在曲線 上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 分別作直線 和 軸的垂線，垂足分別為 .再過(guò)點(diǎn) 作曲線 的切線，分別與直線 和 軸相交于點(diǎn) ， 是坐標(biāo)原點(diǎn).若 的面積為 ，則 的面積為 ▲ ．
二、解答題: 本大題共6小題， 15~17每小題14分，18~20每小題16分，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖， ， 均為圓 的直徑， 圓 所在的平面， .求證：
⑴平面 平面 ；
⑵直線 平面 ．
16．已知 的面積為 ，角 的對(duì)邊分別為 ， ．
⑴求 的值；
⑵若 成等差數(shù)列，求 的值．
17．已知一塊半徑為 的殘缺的半圓形材料 ，O為半圓的圓心， ，殘缺部分位于過(guò)點(diǎn) 的豎直線的右側(cè)．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個(gè)直角三角形，有兩種設(shè)計(jì)方案：如圖甲，以 為斜邊；如圖乙，直角頂點(diǎn) 在線段 上，且另一個(gè)頂點(diǎn) 在 上．要使截出的直角三角形的面積最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知橢圓 ： 的離心率 ， 分別是橢圓 的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓 的半徑為 ，過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線，切點(diǎn)為 ，在 軸的上方交橢圓 于點(diǎn) ．
⑴求直線 的方程；
⑵求 的值；
⑶設(shè) 為常數(shù)．過(guò)點(diǎn) 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓 于點(diǎn) ，分別交圓 于點(diǎn) ，記 和 的面積分別為 ， ，求 的最大值．
19．已知數(shù)列 滿足： ， ， ．
⑴若 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
⑵設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，證明： ．
20．已知函數(shù) ， ．
⑴若函數(shù) 在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求 的取值范圍；
⑵設(shè)函數(shù) 的圖象被點(diǎn) 分成的兩部分為 （點(diǎn) 除外），該函數(shù)圖象在點(diǎn) 處的切線為 ，且 分別完全位于直線 的兩側(cè)，試求所有滿足條件的 的值．
徐州市、宿遷市高三年級(jí)第三次模擬考試
數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）
21.【選做題】本大題包括A、B、C、D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題．每小題10分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知圓 ，圓 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， 是圓 的切線，圓 交 于點(diǎn) ，連結(jié) 并延長(zhǎng)交圓 于點(diǎn) ，連結(jié) .求證 .
B．選修4-2：矩陣與變換
已知 ，若矩陣 所對(duì)應(yīng)的變換把直線 ： 變換為自身，求 .
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，已知直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)為 ，求 的值.
D．選修4-5：不等式選講
已知 ，且 ，求 的最小值
22．【必做題】本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
如圖，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分別是棱 ， 上的點(diǎn)，且 ， .
⑴求異面直線 與 所成角的余弦值；
⑵求二面角 的正弦值.
23．【必做題】本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
已知函數(shù) , ．
⑴當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極大值和極小值；
⑵是否存在等差數(shù)列 ，使得 對(duì)一切 都成立？并說(shuō)明理由．
徐州市、宿遷市高三年級(jí)第三次模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、題
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7.1；
8.55； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14.
二、解答題
15.⑴因?yàn)?圓 所在的平面， 圓 所在的平面，
所以 ，………………………………………………………………………………2分
因?yàn)?為圓 的直徑，點(diǎn) 在圓 上，所以 ， ……………………………3分
因?yàn)?， 平面 ，
所以 平面 ，………………………………………………………………………5分
因?yàn)?平面 ，所以平面 平面 ．…………………………………7分
⑵由⑴ ，又因?yàn)?為圓 的直徑，
所以 ，
因?yàn)?在同一平面內(nèi)，所以 ，…………………………………………9分
因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 平面 ．………………………11分
因?yàn)?，同理可證 平面 ，
因?yàn)?， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因?yàn)?平面 ，所以 平面 ．……………………………………………14分
16.⑴由 ，得 ，即 ．……………2分
代入 ，化簡(jiǎn)整理得， ．……………………………………4分
由 ，知 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 及正弦定理，得 ，
即 ，………………………………………………………………8分
所以 ．①
由 及 ，得 ，……………………………………………10分
代入①，整理得 ．
代入 ，整理得 ，……………………………12分
解得 或 ．
因?yàn)?，所以 ．…………………………………………………………14分
17．如圖甲，設(shè) ， ………2分
所以 ………………………………………………………………………4分
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)， …………………………………………………6分
此時(shí)點(diǎn) 到 的距離為 ，可以保證點(diǎn) 在半圓形材料 內(nèi)部，因此按照?qǐng)D甲方案得到直角三角形的最大面積為 ． …………………………………………………7分
如圖乙，設(shè) ，則 ， ，
所以 ， ． …………………………………10分
設(shè) ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，所以 時(shí)，即點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，
的面積最大值為 ． ………………………………………………………13分
因?yàn)?，
所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為 ．…………14分
18．⑴連結(jié) ，則 ，且 ，
又 ，所以 .
所以 ，所以直線 的方程為 .……………………………………3分
⑵由⑴知，直線 的方程為 ， 的方程為 ，
聯(lián)立解得 . ………………………………………………………………………5分
因?yàn)?，即 ，所以 ， ，故橢圓 的方程為 .
由 解得 ，…………………………………………………………7分
所以 ． ………………………………………………………………8分
⑶不妨設(shè) 的方程為 ，
聯(lián)立方程組 解得 ，
所以 ；……………………………………………………………………10分
用 代替上面的 ，得 ．
同理可得， ， ．…………………………………………13分
所以 ．………………………14分
因?yàn)?，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 的最大值為 ．………………………………16分
19．⑴若 時(shí)， ， ，所以 ，且 ．
兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，……………………………………………………2分
化為 ，
因?yàn)?，
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．……………………4分
所以 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 ，得 ，①
當(dāng) 時(shí)， ，②
① ②，得 ，…………………………………………8分
由已知 ，所以 與 同號(hào)．…………………………………………10分
因?yàn)?，且 ，所以 恒成立，
所以 ，所以 ．………………………………………………………12分
因?yàn)?，所以 ，
所以
．…………………………………………………………16分
20．⑴ ，………………………………………2分
只需要 ，即 ，
所以 ．…………………………………………………………………………………4分
⑵因?yàn)?．
所以切線 的方程為 ．
令 ，則 ．
．………………………………………6分
若 ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ， 在直線 同側(cè)，不合題意；…………………………………8分
若 ， ，
若 ， ， 是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，符合題意；…10分
若 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí)， ， ，不合題意； …………………………12分
若 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí)， ， ，不合題意； ……………………………14分
若 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí)， ， ，不合題意．
故只有 符合題意． ………………………………………………………………16分
附加題
21．
A．由已知， ，因?yàn)?，
， ，
所以 ， ，
因?yàn)?，所以 ，
所以 .……………………………………………5分
延長(zhǎng) 交 于點(diǎn) ，連結(jié) ，則 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，因?yàn)?，
所以 .…………………………………………………………………10分
B．對(duì)于直線 上任意一點(diǎn) ，在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下變換成點(diǎn) ，
則 ，
因?yàn)?，所以 ， ………………………………………4分
所以 解得
所以 ， …………………………………………………………………………7分
所以 . ………………………………………………………………10分
C．直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 ， …………………………3分
圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 ，即 ，…………6分
因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為 ，所以圓心 到直線的距離為 ，
即 ，因?yàn)?，所以 . ………………………………………10分
D．由柯西不等式，得 ，
即 ， ……………………………………………………5分
即 .
所以 ，即 的最小值為 . …………………………………10分
22．⑴以 的中點(diǎn)為原點(diǎn) ，分別以 所在直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 （如圖）. 則 ， ， ， ， ， ， ， .
所以 ， .
所以 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 .…………………………………………5分
⑵平面 的一個(gè)法向量為 .
設(shè)平面 的法向量為 ，因?yàn)?， ，
由 得 令 ，則 .
所以 ，
所以二面角 的正弦值為 . ……………………………………………10分
23．（1） = ，
= ，
令 得 ，
因?yàn)?，所以 ．…………………………………………………2分
當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 的增減性如下表：
無(wú)極值
極大值
極小值
所以當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ．………4分
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) 的增減性如下表：
極大值
極小值
無(wú)極值
所以 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ．…………6分
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列 使 成立，
由組合數(shù)的性質(zhì) ，
把等式變?yōu)?，
兩式相加，因?yàn)?是等差數(shù)列，所以 ，
故 ，
所以 ． …………………………………………………………………8分
再分別令 ，得 且 ，
進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ．………10分
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/75558.html
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