數(shù) 學 （理科）2013.04
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r間長120分鐘�？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y束后，將答題卡交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.已知全集 ，集合 ，則
2.已知 為等差數(shù)列， 為其前 項和.若 ，則
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出 ， 則框圖中
① 處可以填入
4.在極坐標系中，圓 的圓心到直線 的距離為
5.下面四個條件中， “函數(shù) 存在零點”的必要而不充分的條件是
6. 在△ABC中， ，點 滿足條件 ，則 等于
7.某三棱椎的三視圖如圖所示，該三棱錐
的四個面的面積中，最大的是
8.設集合 是 的子集，如果點 滿足： ，稱 為
集合 的聚點.則下列集合中以 為聚點的有：
① ； ② ； ③ ； ④
A.①④B. ②③C. ①②D. ①②④
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 已知復數(shù) 滿足 ，其中 為虛數(shù)單位，則 .
10.已知雙曲線 的焦距為 ，且過點 ，則它的漸近線方程為 .
11.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施 個程序，其中程序A只能在第一或最后
一步實施，程序B和C在實施時必須相 鄰，則實驗順序的編排方法共有 種.(用數(shù)字
作答)
12.如圖，從圓 外一點 引圓 的切線 和割線 ，
已知 ， ， , 則 ,
圓 的半徑等于 .
13.某商品在最近 天內(nèi)的單價 與時間 的函數(shù)關系是
日銷售量 與時間 的函數(shù)關系是 .則這種商品
的日銷售額的最大值為 .
14.已知函數(shù) 的定義域是D，若對于任意 ，當 時，都有 ，
則稱函數(shù) 在D上為非減函數(shù).設函數(shù) 在 上為非減函數(shù)，且滿足以下三個
條件：① ； ② ； ③ .則 ，
.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是 ， ， ，若 且 ，
試判斷△ABC的形狀．
16.（本小題滿分14分）
在四棱錐 中，側面 ⊥底面 ，
為直角梯形， // ， ，
， ， 為 的中點．
（Ⅰ）求證：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC與AB所成角為 ，求 的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
17.（本小題滿分13分）
是指大氣中直徑小于或等于 微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國 標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即 日均值在 微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在 微克/立方米 微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在 微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．
日均值(微克/立方米)
28
37143
4455
638
79
863
925
某城市環(huán)保局從該市市區(qū) 年全年每天的 監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取 天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（Ⅰ）從這 天的 日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；
（Ⅱ）從這 天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記 表示抽到 監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）根據(jù)這 天的 日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按 天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級．
18. (本小題滿分13分)
已知函數(shù) , .
（Ⅰ）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）當 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當 時，函數(shù) 在 上的最大值為 ，若存在 ，使得
成立，求實數(shù)b的取值范圍.
19. (本小題滿分14分)
已知拋物線 的焦點坐標為 ，過 的直線 交拋物線 于 兩點，直線 分別與直線 ： 相交于 兩點.
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
20.（本小題滿分13分）
對于實數(shù) ，將滿足“ 且 為整數(shù)”的實數(shù) 稱為實數(shù) 的小數(shù)部分，用記號 表示．例如 對于實數(shù) ，無窮數(shù)列 滿足如下條件：
， 其中
（Ⅰ）若 ，求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅱ）當 時，對任意的 ，都有 ，求符合要求的實數(shù) 構成的集合 ；
（Ⅲ）若 是有理數(shù)，設 （ 是整數(shù)， 是正整數(shù)， , 互質(zhì)），對于大于 的任意正整數(shù) ，是否都有 成立，證明你的結論．
房山區(qū)高三年級第一次模擬考試參考答案
數(shù) 學 （理科） 2013.04
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.
1B 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8A
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.
15（本小題滿分13分）
（Ⅰ）
………………………………………4分
…………………6分
周期為 ……………………………………7分
（Ⅱ）因為
所以
因為 所以 ……………………………………8分
所以 所以 ……………………………………………………9分
………………………………………11分
整理得 …………………………………………12分
所以 三角形ABC為等邊三角形 …………………………………………13分
16. （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC，F(xiàn)O
// , , 為 中點
AE//BC，且AE=BC
四邊形ABCE為平行四邊形
O為AC中點 ………………………………….………………..1分
又 F為AD中點
// ……………………………………………...….2分
……………...….3分
//平面 ………………………………………..……..…..4分
（Ⅱ）解法一：
………………………….…………………6分
易知 BCDE為正方形
建立如圖空間直角坐標系 ， （ ）
則
，…….………8分
解得： …………………………………………………………………….9分
解法二：由BCDE為正方形可得
由ABCE為平行四邊形 可得 //
為 即 …………………………………..…5分
……………………………………………………………….…7分
…………………………………………………………………….8分
…………………………………..………9分
（Ⅲ） 為 的中點，所以 ，
,
設 是平面BEF的法向量
則
取 ，則 ，得 ……………………………………………….11分
是平面ABE的法向量 ………………………………………………….12分
………………………………………………….13分
由圖可知二面角 的平面角是鈍角，
所以二面角 的余弦值為 ．………………………………………….14分
17（本小題滿分13分）
（Ⅰ）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級的有4天，為二級的有6天，超標的有5天
記“從 天的 日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件
則 ……………………………………3分
（Ⅱ） 的可能值為 ， ……………………4分
……………………………………………8分
所以 的分布列為
…………………………………9分
………………………………10分
（Ⅲ） 天的空氣質(zhì)量達到一級或二級的頻率為 ………………11分
，
所以估計一年中有 天的空氣質(zhì)量達到一級或二級. ……………… 13分
（說明：答243天，244天不扣分）
18（本小題滿分13分）
（Ⅰ）當 時， ……………………1分
………………………………………….…2分
所以曲線 在點 處的切線方程 …………………………….…3分
（Ⅱ） ………4分
①當 時，
解 ，得 ，解 ，得
所以函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為在 ………………………5分
② 時，令 得 或
i）當 時，
x )
f’(x)+-+
f(x)增減增
………………………6分
函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ， ，遞減區(qū)間為 ……………………7分
ii）當 時，
在 上 ，在 上 ………………………8分
函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為 ………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當 時， 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，
所以 ， …………………………………11分
存在 ，使
即存在 ，使 ，
方法一：只需函數(shù) 在[1，2]上的最大值大于等于
所以有
即 解得： ………………………………………………13分
方法二：將
整理得
從而有
所以 的取值范圍是 . …………………………………………………13分
19（本小題滿分14分）
（Ⅰ）由焦點坐標為 可知
所以
所以拋物線 的方程為 …………………………………4分
（Ⅱ）
當直線 垂直于 軸時， 與 相似，
所以 …………………………………….…6分
當直線 與 軸不垂直時，設直線AB方程為 ………………………7分
設 ， ， ， ，
解 整理得 ，
所以 …………………………………………………………….9分
…………………….14分
綜上
20（本小題滿分13分）
（Ⅰ） ， ……….2分
若 ，則
所以 ……………………………………3分
（Ⅱ） ， 所以 ，從而
①當 ，即 時，
所以
解得： （ ，舍去） ……………….4分
②當 ，即 時， ，
所以
解得 （ ，舍去） ………………5分
③當 時，即 時，
解得 （ ，舍去） ………………6分
綜上，集合 ， ， . ………………7分
（Ⅲ）結論成立. ……………………8分
由 是有理數(shù)，可知對一切正整數(shù) ， 為0或正有理數(shù)，
可設 （ 是非負整數(shù)， 是正整數(shù)，且 互質(zhì)）
由 ，可得 ； …………………………………9分
若 ，設 （ ， 是非負整數(shù)）
則 ，而由 得
，故 ， ，可得 ………11分
若 則 ，
若 均不為0，則這 正整數(shù) 互不相同且都小于 ，
但小于 的正整數(shù)共有 個，矛盾.
故 中至少有一個為0，即存在 ，使得 .
從而數(shù)列 中 以及它之后的項均為0，
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