一、選擇題
1.(2010湖北文)用，，表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：
①若∥，∥，則∥； ②若⊥，⊥，則⊥；
③若∥，∥，則∥； ④若⊥，⊥，則∥.
其中真命題的序號是( ).
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
考查目的：考查空間直線與直線、直線與平面的平行和垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系.
答案：C.
解析：由公理4知①是真命題.在空間內(nèi)，⊥，⊥，直線，的關(guān)系不確定，故②是假命題．
由∥，∥，不能判定，的關(guān)系，故③是假命題.④是直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
2.(2011浙江理)下列命題中錯誤的是( ).
A.如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面
B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
C.如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面
D.如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
考查目的：本題考查空間平面與平面垂直的性質(zhì).
答案：D.
解析：如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面，其它與交線不垂直的直線均不與平面垂直，故D項敘述是錯誤的.
3.(2011北京理)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是( ).
A.8 B. C.10 D.
考查目的：考查直線與平面垂直的判定，和空間想象能力.
答案：C.
解析：該四面體的直觀圖，如圖，，，PA=4，AB=4，BC=3，該四面體的四個面都是直角三角形，四個面的面積分別為，，故最大面積為10.
二、填空題
4.(2007四川理)如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成的角是 ．
考查目的：考查直線和平面所成角的求法.
答案：.
解析：作于點，則為與側(cè)面所成的角，在直角中，，，∴，∴．
5.(2007江蘇理改編)已知兩條直線，，兩個平面，，給出下面四個命題：
①∥，⊥⊥； ②∥，，∥；
③∥，∥∥； ④∥，∥，⊥⊥.
其中正確命題的序號是 .
考查目的：考查空間直線與平面的垂直和平行關(guān)系的判定.
答案：①④.
解析：①，④可由直線和平面垂直的定義和性質(zhì)推證，根據(jù)②中的條件可得與平行或異面，③中有可能在內(nèi).
6.(2012遼寧理)已知正三棱錐，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________.
考查目的：考查空間幾何體中直線與平面的位置關(guān)系.
答案：.
解析：∵在正三棱錐中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，∴可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分(如圖)，此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點.球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐在面ABC上的高.已知球的半徑為，∴正方體的棱長為2，可求得正三棱錐在面ABC上的高為，∴球心到截面ABC的距離為.
三、解答題
7.(2011天津改編)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝，AD＝AC＝1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD. 證明：AD⊥平面PAC.
考查目的：考查直線和平面垂直的判定.
答案：(略).
解析：∵∠ADC＝，且AD＝AC＝1，∴∠DAC＝，即AD⊥AC.
又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.
8.(2011江蘇)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．求證：
⑴直線EF∥平面PCD；⑵平面BEF⊥平面PAD.
考查目的：考查直線與平面，平面與平面的垂直關(guān)系間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.
解析：⑴在△PAD中，∵E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，∴EF∥PD.又∵EF平面PCD，PD?平面PCD，∴直線EF∥平面PCD.
⑵如圖，連結(jié)BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝，∴△ABD為正三角形. ∵F是AD的中點，∴BF⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.
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