一、選擇題
1.(2012安徽理)公比為等比數列的各項都是正數，且，則( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
考查目的：考查等比數列的通項公式與性質、對數的概念與運算等基礎知識.
答案：B.
解析：∵，∴，∵的各項都是正數，∴，∴，∴.
2.(2011江西理)已知數列的前項和滿足：，且，那么( ).
A.1 B.9 C.10 D.55
考查目的：考查數列的遞推公式、等差數列的概念及通項公式、與的關系.
答案：A
解析：令，得，∵，∴，∴是首項為，公差為的等差數列，，因此，.
3.(2011天津理)已知為等差數列，其公差為，且是與的等比中項，為的前項和，，則的值為( ).
A.-110 B.-90 C.90 D.110
考查目的：考查等比中項的概念以及等差數列通項公式、前項和公式的基本應用.
答案：D
解析：設等差數列的公差為，根據題意得，即，將代入，并解得，所以.
4.(2012湖北理)定義在上的函數，如果對于任意給定的等比數列， 仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”. 現有定義在上的如下函數：①；②；③；④.則其中是“保等比數列函數”的的序號為( ).
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
考查目的：本題考察等比數列的性質及函數計算.
答案：C.
解析：對于①，，所以是“保等比數列函數”； 對于②，，所以不是“保等比數列函數”；對于③，，所以是“保等比數列函數”；對于④，，所以不是“保等比數列函數”.
5.已知數列滿足，當時，，則( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
考查目的：考查數列遞推公式的運用、周期數列的概念與判斷，考查分析判斷能力.
答案：A.
解析：由條件可得該數列為：，所以是周期為的周期數列，所以.
6.(2012上海理)設，，在中，正數的個數是( ).
A.25 B.50 C.75 D.100
考查目的：數列前項和的概念、三角函數的周期性，考查綜合運用知識分析問題解決問題的能力.
答案：D.
解析：當時，；當時，，但其絕對值要小于時相應的值；當時，；當時，，但其絕對值要小于時相應的值；當時，. ∴當時，均有.
二、填空題
7.(2009北京理)已知數列滿足：，，，，則______；_________.
考查目的：考查數列的概念、周期數列等基礎知識.
答案：1，0.
解析：依題意，得，.
8.(2011湖北理)《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.
考查目的：考查等差數列的概念、基本運算以及運算能力.
答案：.
解析：記題中的等差數列為，公差為，前項和為. 根據題意知，，兩式聯(lián)立解得，，∴.
9.(2010天津文)設是等比數列，公比，為的前項和.記，，設為數列的最大項，則 .
考查目的：考查等比數列的前項和公式及平均值不等式等基礎知識，考查運算能力.
答案：4.
解析：根據等比數列前項和公式，得 .∵，當且僅當，即時取等號，而，∴當時，取最大值，即數列的最大項為，所以.
10.(2011江蘇卷)設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________.
考查目的：考查等差數列、等比數列的概念和通項公式，考查不等式的有關知識及推理判斷能力.
答案：.
解析：由題意可得，∴. ∵，∴當取最小值時，，∴，即的最小值是.
11.(2012四川理)記為不超過實數的最大整數，例如，，，.設為正整數，數列滿足，，現有下列命題：①當時，數列的前3項依次為5，3，2；②對數列都存在正整數，當時總有；③當時，；④對某個正整數，若，則. 其中的真命題有____________.(寫出所有真命題的編號)
考查目的：本題屬于新概念問題，主要考查對新概念的理解、不等式的性質，以及數列知識的靈活運用和推理論證能力.
答案：①③④
解析：易證，對于取整函數有下列性質：性質1：當時，；性質2：對，有；性質3：若，，則. ①當時， ，，故①為真；②當時，易知該數列為：(1與2交替出現)，所以②為假；③∵ ，∴；由題易知，對一切，均為正整數，所以無論是奇數還是偶數，均有 ，故③為真；④若對某個正整數，則由 ，得，∴，∵是正整數，∴.又∵，，∴(或由③為真，及，直接可得)，故，因此④為真.
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