一、選擇題
1.(2012安徽理)公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
考查目的：考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)、對數(shù)的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識.
答案：B.
解析：∵，∴，∵的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴，∴，∴.
2.(2011江西理)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，那么( ).
A.1 B.9 C.10 D.55
考查目的：考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式、與的關(guān)系.
答案：A
解析：令，得，∵，∴，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，因此，.
3.(2011天津理)已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，，則的值為( ).
A.-110 B.-90 C.90 D.110
考查目的：考查等比中項(xiàng)的概念以及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的基本應(yīng)用.
答案：D
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，即，將代入，并解得，所以.
4.(2012湖北理)定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①；②；③；④.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為( ).
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
考查目的：本題考察等比數(shù)列的性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算.
答案：C.
解析：對于①，，所以是“保等比數(shù)列函數(shù)”； 對于②，，所以不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；對于③，，所以是“保等比數(shù)列函數(shù)”；對于④，，所以不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.
5.已知數(shù)列滿足，當(dāng)時，，則( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
考查目的：考查數(shù)列遞推公式的運(yùn)用、周期數(shù)列的概念與判斷，考查分析判斷能力.
答案：A.
解析：由條件可得該數(shù)列為：，所以是周期為的周期數(shù)列，所以.
6.(2012上海理)設(shè)，，在中，正數(shù)的個數(shù)是( ).
A.25 B.50 C.75 D.100
考查目的：數(shù)列前項(xiàng)和的概念、三角函數(shù)的周期性，考查綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力.
答案：D.
解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，，但其絕對值要小于時相應(yīng)的值；當(dāng)時，；當(dāng)時，，但其絕對值要小于時相應(yīng)的值；當(dāng)時，. ∴當(dāng)時，均有.
二、填空題
7.(2009北京理)已知數(shù)列滿足：，，，，則______；_________.
考查目的：考查數(shù)列的概念、周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.
答案：1，0.
解析：依題意，得，.
8.(2011湖北理)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.
考查目的：考查等差數(shù)列的概念、基本運(yùn)算以及運(yùn)算能力.
答案：.
解析：記題中的等差數(shù)列為，公差為，前項(xiàng)和為. 根據(jù)題意知，，兩式聯(lián)立解得，，∴.
9.(2010天津文)設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前項(xiàng)和.記，，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則 .
考查目的：考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及平均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力.
答案：4.
解析：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，得 .∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，∴當(dāng)時，取最大值，即數(shù)列的最大項(xiàng)為，所以.
10.(2011江蘇卷)設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________.
考查目的：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，考查不等式的有關(guān)知識及推理判斷能力.
答案：.
解析：由題意可得，∴. ∵，∴當(dāng)取最小值時，，∴，即的最小值是.
11.(2012四川理)記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)時，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5，3，2；②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；③當(dāng)時，；④對某個正整數(shù)，若，則. 其中的真命題有____________.(寫出所有真命題的編號)
考查目的：本題屬于新概念問題，主要考查對新概念的理解、不等式的性質(zhì)，以及數(shù)列知識的靈活運(yùn)用和推理論證能力.
答案：①③④
解析：易證，對于取整函數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì)1：當(dāng)時，；性質(zhì)2：對，有；性質(zhì)3：若，，則. ①當(dāng)時， ，，故①為真；②當(dāng)時，易知該數(shù)列為：(1與2交替出現(xiàn))，所以②為假；③∵ ，∴；由題易知，對一切，均為正整數(shù)，所以無論是奇數(shù)還是偶數(shù)，均有 ，故③為真；④若對某個正整數(shù)，則由 ，得，∴，∵是正整數(shù)，∴.又∵，，∴(或由③為真，及，直接可得)，故，因此④為真.
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