一、選擇題

1.(2011上海理)若，且，則下列不等式中，恒成立的是(    ).

A.      B.       C.      D.

考查目的：考查基本不等式基礎(chǔ)知識.

答案：D.

解析：選項A在時不成立，選項B、C在時不成立.

 

2.(2009重慶文)已知，則的最小值是(    ).

A.2               B.              C.4              D.5

考查目的：考查基本不等式的應(yīng)用.

答案：C.

解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取“＝”號.

 

3.(2012浙江文)若正數(shù)滿足，則的最小值是(    ).

A.            B.             C.5               D.6

考查目的：考查基本不等式，以及不等式的證明和求最值中常用的一種方法――“1”的代換.

答案：C.

解析：∵，，∴，∴  ，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”號.

 

二、填空題

4.(2011湖南理)設(shè)，則的最小值為          .

考查目的：考查基本不等式及其等號成立的條件．

答案：9.

解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”號.

 

5.(2008江蘇卷)已知，，則的最小值是          ．

考查目的：考查二元基本不等式的運用.

答案：3.

解析：由得，代入得，，當(dāng)且僅當(dāng) 時取“＝”號．

 

6.(2010安徽文)若，則下列不等式：①；②；③ ；④；⑤，其中對一切滿足條件的恒成立的是          (寫出所有正確命題的編號)．

考查目的：考查不等式的性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用，以及推理論證能力.

答案：①③⑤.

解析：∵，∴，①為真.令可得②④為假.∵

，∴③為真.又∵，∴⑤為真.

 

三、解答題

7.已知直角中，周長為，面積為，求證：.

考查目的：考查勾股定理、三角形面積公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.

解析：設(shè)直角的兩直角邊長為，則斜邊長為，面積，∴周長，∴，∴ ，即.

 

8.(2009湖北文)圍建一個面積為的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為的進出口，如圖所示. 已知舊墻的維修費用為元/，新墻的造價為元/，設(shè)利用的舊墻的長度為(單位：)，修建此矩形場地圍墻的總費用為(單位：元).

⑴將表示為的函數(shù)：

⑵試確定，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

考查目的：考查函數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考查用基本不等式求最值和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

答案：⑴；⑵時，元.

解析：⑴根據(jù)題意，舊墻的維修費用為元，建新墻的費用為元，所以.

⑵∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時取得最小值.

答：當(dāng)時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是元.

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