1．按公因式分解
例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．
分析：第1、4項(xiàng)含公因式7x，第2、3項(xiàng)含公因式y(tǒng)，分組后又有公因式(x-3)，
解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

2．按系數(shù)分解
例2 分解因式x3+3x2+3x+9．
分析：第1、2項(xiàng)和3、4項(xiàng)的系數(shù)之比1：3，把它們按系數(shù)分組．
解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

3．按次數(shù)分組
例3 分解因式 m2+2m•n-3m-3n+n2．
分析：第1、2、5項(xiàng)是二次項(xiàng)，第3、4項(xiàng)是一次項(xiàng)，按次數(shù)分組后能用公式和提取公因式．
解：原式=(m2+2m•n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

4．按乘法公式分組
分析：第1、3、4項(xiàng)結(jié)合正好是完全平方公式，分組后又與第二項(xiàng)用平方差公式．

5．展開(kāi)后再分組
例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．
分析：將括號(hào)展開(kāi)后再重新分組．
解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

6．拆項(xiàng)后再分組
例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．
分析：把常數(shù)拆開(kāi)后再分組用乘法公式．
解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

7．添項(xiàng)后再分組
例7 分解因式x4+4．
分析：上式項(xiàng)數(shù)較少，較難分解，可添項(xiàng)后再分組．
解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

二、用換元法進(jìn)行因式分解
用添加輔助元素的換元思想進(jìn)行因式分解就是原式繁雜直接分解有困難，通過(guò)換元化為簡(jiǎn)單，從而分步完成．
例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．
分析：將令y=x2+3x，則原式轉(zhuǎn)化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡(jiǎn)單了．
解：令y=x2+3x，則
原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．
因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

三、用求根法進(jìn)行因式分解
例9 分解因式x2+7x+2．
分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的根再分解．

四、用待定系數(shù)法分解因式．
例10 分解因式x2+6x-16．
分析：假設(shè)能分解，則應(yīng)分解為兩個(gè)一次項(xiàng)式的積形式，即(x+b1)(x+b2)，將其展開(kāi)得
x2+(b1+b2)x十b1•b2與x2+6x-16相比較得
b1+b2=6，b1•b2=-16，可得b1，b2即可分解．
解：設(shè)x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
則x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1•b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

 

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