二、運用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。
例1:已知定點A(2,0),點P在曲線x2+y2=1(x≠1)上運動,∠AOP的平分線交PA于Q,其中O為原點,求點Q的軌跡方程。
解: 設Q(x,y),P(x1,y1)
-=(x-2,y)
-=( x1-x,y1-y)
又∵-=-=-
∴ -=2-
即:(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)
-
解得:-
代入x12+y12=1(x≠1)有:
-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)
即所求軌跡方程為:
(x--)2+y2=-(x≠-)
【點撥】用該方法解此類問題簡單明了,若將Q視為線段AP的定比分點,運用定比分點公式解本題,則計算過程既繁瑣又容易出錯。
例2:設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點,點Q與點P關于y軸對稱,O為坐標原點,若-=2-,且-·■=1,求P點的軌跡方程。
解:-=2-
∴P分有向線段-所成的比為2
由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)
∴- =(--x,3y)
∵Q與P關于y軸對稱, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)
∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)
即所求點P的軌跡方程為-x2+3y2=1(x>0,y>0)
【點撥】求動點軌跡方程時應注意它的完備性與純粹性。化簡過程破壞了方程的同解性,要注意補上遺漏的點或者挖去多余的點。
三、運用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。
例1:如圖,過定點A(a,b)任意作相互垂直的直線l1與l2,且l1與x軸相交于M點,l2與y軸相交于N點,求線段MN中點P的軌跡方程。
解:設P(x,y),則M(2x,0),N(0,2y)
-=(2x-a ,-b)
-=(-a,2y-b)
由-⊥-知-·■=0
∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0
即所求點P的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2
【點撥】用勾股定理解本題,運算繁瑣,若用斜率解本題,又必須分類討論,用向量的方法避免了上述兩種方法的缺陷,使解題優(yōu)化。
例2:過拋物線y2=8x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,過原點O作OM⊥AB,垂足M,求點M的軌跡方程。
解:設M(x,y), OM⊥AB,F(xiàn)(2,0)
∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0,即:x2+y2-2x=0
∴點M的軌跡方程為x2+y2-2x=0
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