專題04 幾何圖形初步
1． 幾何圖形的分類
在給幾何體分類時(shí)，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.
2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化
（1）立體圖形的平面展開圖：
把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來．
（2）從不同方向看：
主（正）視圖---------從正面看
幾何體的三視圖 左視圖-----從左（右）邊看
俯視圖---------------從上面看
3.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系
4. 基本性質(zhì)
(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線． (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．
5.畫一條線段等于已知線段
（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個(gè)長度的線段.
（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a，如下圖：
6．線段的比較與運(yùn)算
（1）線段的比較：
比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.
（2）線段的和與差：
如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD.
（3）線段的中點(diǎn)：
把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：
7．角的度量
（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.
(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：
（3）角度制及角度的換算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.
（4）角的分類
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
（5）畫一個(gè)角等于已知角
（i）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.
（ii）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.
（iii）用尺規(guī)作圖法.
8．角的比較與運(yùn)算
（1）角的比較方法: ①度量法；②疊合法.
（2）角的平分線：
從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2= ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
9．角的互余互補(bǔ)關(guān)系
（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.
（3）結(jié)論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.+
10．方位角
以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正 北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.
（2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、測繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.
考點(diǎn)一、線段的性質(zhì)
例1（2017•隨州）某同用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉減掉一部分（如圖）， 發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)知識是
A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．垂線段最短 D．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
【答案】A
【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間，線段最短．
考點(diǎn)二、直線的性質(zhì)
例2（2017•黔南州）如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根 木樁，然后拉一條直的參照線，其運(yùn)用到的數(shù)原理是
A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．垂線段最短 D．過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行
【答案】B
【解析】建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉 一條直的參照線，這種做法運(yùn)用到的數(shù)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選：B．
【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了直線的性質(zhì)，正確把握直線的性質(zhì)聯(lián)系實(shí)際生活是解題 關(guān)鍵．
考點(diǎn)三、線段有關(guān)的計(jì)算
例3 （2017•河北）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn) A，B，C，其中 AB=2， BC=1，如圖所示，設(shè)點(diǎn) A，B，C 所對應(yīng)數(shù)的和是 p．
（1）若以 B 為原點(diǎn)，寫出點(diǎn) A，C 所對應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算 p 的值；若以 C 為原點(diǎn)，p 又是多少？
（2）若原點(diǎn) O 在圖中數(shù)軸上點(diǎn) C 的右邊，且 CO=28，求 p．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及數(shù)軸的運(yùn)用，解題時(shí)注意：連接兩點(diǎn) 間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．
考點(diǎn)四、角的大小計(jì)算
例4 （2017•河池）如圖，點(diǎn) O 在直線 AB 上，若∠BOC=60°，則∠AOC 的大小是
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】∵點(diǎn) O 在直線 AB 上，∴∠AOB=180°，又∵∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，故選：C．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了角的概念以及平角的定義的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平角等 于 180°．
考點(diǎn)五、方位角
例5（2017•河北）如圖，碼頭 A 在碼頭 B 的正西方向，甲、乙兩船分別從 A，B同時(shí)出發(fā)，并以等速駛向某海域，甲的航向是北偏東 35°，為避免行進(jìn)中甲、乙 相撞，則乙的航向不能是
A．北偏東 55° B．北偏西 55°
C．北偏東 35° D．北偏西 35°
【答案】D
【解析】∵甲的航向是北偏東 35°，為避免行進(jìn)中甲、乙相撞，∴乙的航向不能是北偏西 35°， 故選 D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是方向角問題，理解方向角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
一、選擇題
1．從左邊看圖1中的物體，得到的是圖2中的
【答案】B
【解析】從左邊看，圓臺被遮住一部分，故選B．
2．如圖所示是正方體的一種平面展開圖，各面都標(biāo)有數(shù)，則標(biāo)有數(shù)“-4”的面與其對面上的數(shù)之積是
A．4 B．12 C．-4 D．0
【答案】B
【解析】由正方體的平面展開圖可知，標(biāo)有數(shù)-4的面的對面是標(biāo)有數(shù)-3的面，故兩個(gè)數(shù)之積為12．
3． 如圖，田亮同用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)知識是
A．垂線段最短
B．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線
C．經(jīng)過兩點(diǎn)，有且僅有一條直線
D．兩點(diǎn)之間，線段最短
【答案】D；
4．如圖所示，點(diǎn)O在直線AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么圖中相等的角的對數(shù)是
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】因?yàn)椤螩OB＝90°，所以∠BOD+∠COD＝90°，即∠BOD＝90°-∠COD．因?yàn)椤螪OE＝90°，所
以∠EOC+∠COD＝90°，即∠EOC＝90°-∠COD，所以∠BOD＝∠EOC．同理∠AOE＝∠COD．又
因?yàn)椤螦OC ＝∠COB＝∠DOE＝90°(∠AOC＝∠COB，∠AOC＝∠DOE，∠COB＝∠DOE)，所以
圖中相等的角有5對.
故選C．
5．如圖所示的圖中有射線
A．3條 B．4條 C．2條 D．8條
【答案】D
【解析】根據(jù)射線的定義可知，圖中有8條射線.
6．在地理課堂上，老師組織生進(jìn)行尋找北極星的探究活動時(shí)，李佳同使用了如圖所示的半圓儀，則
下列四個(gè)角中，最可能和∠AOB互補(bǔ)的角為
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】根據(jù)圖形可得∠AOB大約為135°，∴與∠AOB互補(bǔ)的角大約為45°，綜合各選項(xiàng)D符合．
7．十點(diǎn)一刻時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘?br>A．112°30′ B．127°30′ C．127°50′ D．142°30′
【答案】D
【解析】一刻是15分鐘，十點(diǎn)一刻，即10點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕菫椋?＝142.5°＝142°30′，故選D．
8．在海面上有A和B兩個(gè)小島，若從A島看B島是北偏西42°，則從B島看A島應(yīng)是
A．南偏東42° B．南偏東48° C．北偏西48° D．北偏西42°
【答案】A
【解析】方位角存在這樣的規(guī)律：甲、乙兩地之間的方位角，方向相反，角度相等．由此可知從B島看A島的方向?yàn)槟掀珫|42°，故選A．
二、填空題
9．把一條彎曲的公路改為直道，可以縮短路程，其理由是________．
【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短
【解析】本題是應(yīng)用線段的性質(zhì)解釋生活中的現(xiàn)象，由于這是兩點(diǎn)之間連線長度的比較，符合“兩點(diǎn)之間線段最短”．
10．已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，則相等的兩角是________．
【答案】∠α和∠γ
【解析】 ，于是∠α＝∠γ．
11．用平面去截一個(gè)幾何體，如果得出的橫截面是圓形，那么被截的幾何體是________(填一個(gè)答案即可)．
【答案】圓柱(圓錐、圓臺、球體等)
【解析】答案不唯一，例如用平面橫截圓錐即可得到圓形．
12．如圖是一個(gè)正方體的展開圖，和C面的對面是 面．
【答案】F．
【解析】這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，其中面“B”與面“D”相對，面“A”與面“E”相對， “C”與面“F ”相對.
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，則∠2＝∠3，其根據(jù)是________．
【答案】同角的余角相等
【解析】根據(jù)余角的性質(zhì)解答問題．
14．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一條邊重合)組成的角_______度．
【答案】60度或180
【解析】先求出∠α=60°，∠β=120°；再分∠α在∠β內(nèi)部和外部兩種情況來討論．
15.一副三角板如圖擺放，若∠BAE=135 °17′，則∠CAD的度數(shù)是 .
【答案】44°43′；
【解析】∠BAD＋∠CAE＝180°，即∠BAE＋∠CAD＝180°，所以 ∠CAD＝180°－135°17′＝44°43′．
16.如下圖，點(diǎn)A、B、C、D代表四所村莊，要在AC與BD的交點(diǎn)M處建一所“希望小”，請你說明選擇校址依據(jù)的數(shù)道理 .
【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短．
【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知，校應(yīng)該建在A、B、C、D四個(gè)村莊連線的交點(diǎn)上.
三、解答題
17.如圖，已知點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，AC=12cm，CB= AC，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，求DE的長．
18．如圖，∠AOB=90°，∠AOC是銳角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度數(shù)．
19．在一張城市地圖上，如圖所示，有校、醫(yī)院、圖書館三地，圖書館被墨水染黑，具體位置看不清，但知道圖書館在校的北偏東45°方向，在醫(yī)院的南偏東60°方向，你能確定圖書館的位置嗎?
【解析】如圖所示．在醫(yī)院A處，以正南方向?yàn)槭歼�，逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°角，得角的終邊射線AC．在校B處， 以正北方向?yàn)槭歼�，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°角，得角的終邊射線BD．AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是圖書館的位置．
20．如圖所示，線段AB＝4，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)，小明據(jù)此很輕松地求得CD＝2．在反思過程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O運(yùn)動到AB的延長線上，原來的結(jié)論“CD＝2”是否仍然成立?請幫小明畫出圖形并說明理由．
【解析】原有的結(jié)論仍然成立，理由如下：當(dāng)點(diǎn)O在AB的延長線上時(shí)，如圖所示，
CD＝OC－OD＝ (OA－OB)＝ AB＝ ．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuyi/1187266.html
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