數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行運(yùn)算、判斷、推理、證明的基礎(chǔ),形成準(zhǔn)確、清晰的概念是正確思維的前提。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握程度直接影響其學(xué)習(xí)效果。因此,數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。

　　數(shù)學(xué)概念分為原始概念和定義概念。原始概念往往是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系抽象而來的,比較直觀具體。在教學(xué)中,教師若能很好地利用直觀教具,使學(xué)生通過觀察而明確概念所反映的對(duì)象、特性,以及概念所適用的范圍,則能收到較好的效果。定義概念,雖然是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映,但其產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了抽象和概括的過程,具有其本身的復(fù)雜性和抽象性。因此,在進(jìn)行定義概念教學(xué)時(shí),教師有針對(duì)性地引導(dǎo)和幫助學(xué)生逐個(gè)角度、逐個(gè)層面地認(rèn)識(shí)概念反映的對(duì)象,是很有必要的。

　　1.明確概念的研究對(duì)象

　　對(duì)概念要做到能夠正確理解,明確概念的研究對(duì)象是第一要義。教師在進(jìn)行概念教學(xué),特別是在初步建立新概念時(shí),必須首先明確指出概念的研究對(duì)象是什么,同時(shí)可采用類比、反例等手段對(duì)概念的研究對(duì)象進(jìn)行個(gè)性凸顯。例如,對(duì)“平行線”之一概念的教學(xué),教師在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出平行線是“同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線”時(shí),要強(qiáng)調(diào)平行線概念的研究對(duì)象是同一平面內(nèi)的兩條直線,它不是射線、線段,更不是曲線。學(xué)生對(duì)于研究對(duì)象的明確,意味著對(duì)新概念已初步地接受,有了初步的認(rèn)知。

　　2.明確概念成立的條件

　　要正確理解概念,明確概念成立的條件同樣是很重要的環(huán)節(jié)。有些概念的表述很相似,但隨著其限制條件的不同,概念的內(nèi)涵可能完全不同。比如,“在同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線是平行線”,這一關(guān)于平行線的概念,如果忽視了其前提條件“在同一平面內(nèi)”,“平行線”之一概念就不一定成立。因?yàn)樵诳臻g中確實(shí)存在著不相交但也確實(shí)不平行的直線??異面直線;再如“圓”之一概念的表述為“在同一平面內(nèi),到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”,如果沒有“在同一平面內(nèi)”這一前提作保障,“圓”的概念同樣不能成立,因?yàn)樵诳臻g中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合可能是球面。像這樣的條件性較強(qiáng)的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中是很多的,教師要用類比的方法,使學(xué)生對(duì)概念成立的條件有明確的認(rèn)識(shí)和全面的理解。

　　3.揭示概念的內(nèi)涵

　　概念的內(nèi)涵是概念的反映對(duì)象在一定條件下所具備的本質(zhì)屬性,是此概念區(qū)別于其他概念的根本標(biāo)志。一個(gè)定義概念,其研究對(duì)象及相應(yīng)條件的確定,即意味著概念內(nèi)涵的確定。因此,概念教學(xué)的主要任務(wù)之一即是要凸顯概念的內(nèi)涵本質(zhì)和本質(zhì)特征,同時(shí)要幫助學(xué)生排除誤解因素對(duì)本質(zhì)理解的干擾。

　　由于在教學(xué)中,給概念下定義常用“種概念加類差”的方式,因此概念教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)講解定義中種概念和類差,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到被定義概念既擁有它的種概念的一切屬性,又有自己所獨(dú)有的特性即類差。例如,“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定義中,“四邊形”就是平行四邊形所具有的最鄰近的種概念,類差是“兩組對(duì)邊平行”。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出平行四邊形首先是四邊形,具有四邊形的一切屬性,如內(nèi)角和為360°,具有不穩(wěn)定性等,同時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)平行四邊形是特殊的四邊形,特殊在“有兩組對(duì)邊分別平行”。

　　有些概念的種概念和類差不夠明確,教學(xué)時(shí)通常還要從側(cè)面對(duì)這些概念的內(nèi)涵進(jìn)行闡述。比如“互為余角”概念的教學(xué),必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):其一,必須是兩個(gè)角,單獨(dú)一個(gè)90°角或和為90°的三個(gè)角及三個(gè)以上角,都不能說互為余角;其二,兩個(gè)角之和必須為90°。這兩點(diǎn)即是“互為余角”這一概念的本質(zhì)所在。另外,教學(xué)實(shí)踐表明,很有必要向?qū)W生說明兩個(gè)角是否互余與角所處的位置無關(guān),比如南極有一個(gè)角為30°,北極有一個(gè)角為60°,但這兩個(gè)角仍然互為余角。

　　4.在應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解

　　無疑,學(xué)習(xí)概念是為了應(yīng)用。學(xué)生對(duì)初學(xué)概念即使能弄清其基本含義,也未必能運(yùn)用概念進(jìn)行運(yùn)算、證明。同時(shí),應(yīng)用是對(duì)概念的加深理解最有效的方式和途徑,具體應(yīng)用過程可使概念的對(duì)象屬格化、抽象的條件具體化、深刻的定義淺顯化。所以,必須配以典型的例題,引導(dǎo)學(xué)生掌握概念的適用范圍和方法,從而加深學(xué)生對(duì)概念的理解。仍以“互為余角”概念為例,配以如下例題,要求學(xué)生自己先行解答。

　　例:如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E,則圖中互余的角共有(?搖?搖)對(duì)。

　　A.6B.7C.8D.9

　　結(jié)果多數(shù)學(xué)生選C。我們對(duì)此題作如下分析:在解決直角三角形中的互余問題時(shí),要考慮三種情況:①直角三角形中的直角被分成兩部分的兩個(gè)角互余:∠1與∠2,∠3與∠4;②同一直角三角形中的兩個(gè)銳角互余:∠2與∠B,∠1與∠3,∠4與∠A,∠A與∠B,∠1與∠A;③等量代換得到的互余角:∠2=∠3,故∠3+∠B=90°,∠2+∠4=90°,即∠3與∠B、∠2與∠4也是互余角,所以共有9對(duì)互余角,正確答案為D。該題中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是不自覺中對(duì)“互為余角”強(qiáng)調(diào)了位置關(guān)系。通過以上分析,學(xué)生可以更全面、深刻地理解“互為余角”這一概念。

　　5.梳理概念之間的關(guān)系,形成概念體系

　　在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)概念是分散的、漸進(jìn)的,有些概念的理解不是一次能完成的。因此,教師應(yīng)該有計(jì)劃地進(jìn)行單元總結(jié)或階段歸納。比如絕對(duì)值、算數(shù)平方根、完全平方數(shù),這是中學(xué)數(shù)學(xué)不同階段的三個(gè)表述完全不同的概念,但它們之間有一個(gè)共同點(diǎn),都是非負(fù)數(shù),即|a|≥0,≥0,a2≥0.在這個(gè)意義上可把它們劃歸為一類,可以利用這一類的非負(fù)性解決很多相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

　　對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行經(jīng)常性的比較和梳理,可使概念知識(shí)條理化、系統(tǒng)化,漸次構(gòu)成一個(gè)完整的概念體系,只有這樣,才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念理解得更深刻,也才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念運(yùn)用得得心應(yīng)手。

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