2012年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題
(5月20日 上午 8:30---11:00)
第一試
題:(每小題8分，共80分)要求直接將答案填在題中的橫線上.
1.已知集合 ,若非空集合 滿足： 中各元素都加4后構(gòu)成 的一個子集， 中個元素都減去4后也構(gòu)成 的一個子集，則 .
答案:
2.已知兩條直線 ， ，設(shè)函數(shù) 的圖像與 、 分別交于點(diǎn)A、B，函數(shù) 的圖像與 、 分別交于點(diǎn)C、D，則直線AB與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)是
答案:
3.對于正整數(shù) ,若 、 ,當(dāng) 最小時，我們稱 為 的“最佳分解”，并規(guī)定 .例如，12的分解有12 1，6 2，4 3，其中4 3為12的“最佳分解”，則 .關(guān)于 ，有以下四個判斷：
① ② ； ③ ； ④ .
其中，所有正確判斷的序號是 .
答案:②、④
4.已知 為等腰直角三角形， ，且 ， ，若
，則 的面積等于 .
答案:1
5.在正四面體ABCD中，AO 平面BCD，垂足為O.設(shè)是線段AO上一點(diǎn)，且滿足 ，則 .
答案:1
6.如圖1，Rt 的三個頂點(diǎn)都在給定的拋物線 上，且斜邊AB//x軸，則斜邊上的高 .
答案:
7.某項(xiàng)游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎（參與游戲活動的都有獎），且相應(yīng)獲獎的概率是以a為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)獲得的獎金是以700元為首項(xiàng)、以 為公差的等差數(shù)列.則參與這項(xiàng)游戲活動獲得獎金的期望是 元.
答案:500
8.設(shè) 、 是兩個不同的質(zhì)數(shù)，則 被 除的余數(shù)是 .
答案:1
9.定義在R上的函數(shù) 滿足： ，且對于任意的 ，都有 .則不等式 的解集為 .
答案:
10.從公路旁的材料工地沿筆直的公路向同一方向運(yùn)送電線桿到500以外的公路邊埋栽，在500處栽一根，然后每間隔50在公路邊栽一根.已知運(yùn)輸車輛一次最多只能運(yùn)三根，要完成運(yùn)載20根電線桿的任務(wù)，并返回材料工地，則運(yùn)輸車總的行程最小為
.
答案:14000
第二試
一、（本題滿分20分）
在 中，已知 ，且 .
（1）求角A的大小和 邊的長；
（2）若點(diǎn)P在 內(nèi)運(yùn)動（含邊界），且點(diǎn)P到三邊距離之和為d,設(shè)點(diǎn)P到邊BC、CA的距離分別為 ，試用 表示d,并求d的取值范圍.
答案：

二、（本題滿分20分）
在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) 為圓心的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) ，且分別與 軸、 軸交于點(diǎn) （不同于原點(diǎn) ）.
（1）求證： 的面積 為定值；
（2）設(shè)直線 與圓 相交于不同的兩點(diǎn) ，且 ，求圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
答案：

三、（本題滿分20分）
如圖2，銳角 內(nèi)接于圓 ，過圓心 且垂直于半徑 的直線分別交邊 于點(diǎn) 設(shè)圓 在 兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn) .
求證：直線 平分線段 .
證明：如圖4，過點(diǎn) 作 的平行線，分別交 延長線于點(diǎn) ，則
因?yàn)?是 的外心，所以

所以
又 為圓 的切線，所以 .
所以 ，于是 .
同理
又 ，所以 ，即 平分線段 .
因?yàn)?，故直線 平分線段 .
四、（本題滿分30分）
已知數(shù)列 滿足： ， .
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列 滿足： ，且對任意正整數(shù) ,
不等式 恒成立，求整數(shù)的最大值.
若存在 ，則由 知， .依次類推， ，這與 矛盾.故
于是，由 ，得
，即 .
所以 是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列.
所以 ，即
由（1）得 .從而 .
于是，不等式 等價于

令 則

所以 單調(diào)遞增.
所以 .
于是， ，即 .
故整數(shù) 的最大值為13.

五、（本題滿分30分）
對于任意的正整數(shù)n,證明：
.
證明：記 ， .
先證明：對任意 ，有 .
事實(shí)上，



因?yàn)?單調(diào)遞增，所以 .
故
再證明：對任意 ，有 .
當(dāng) 時， ，不等式成立.
當(dāng) 時，
（1）若 為奇數(shù)，令 ，則



（2）若 為偶數(shù)，令 ，則
.
綜上所述，對任意 ，都有 .

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/43526.html

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