專題六 不等式（教師版）
【考綱解讀】
了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景;會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型,通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系,會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計求解的程序框圖;會從實際情境中抽象出二元一次不等式組,了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決;了解基本不等式的證明過程,會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法分析和解決有關(guān)不等式問題，形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)判斷推理和邏輯思維能力.
從近幾年高考題目來看，不等式的性質(zhì)和解不等式問題多以一個選擇題的形式出現(xiàn)，且多與集合、簡易邏輯、函數(shù)知識相結(jié)合，難度較低.
【考點預(yù)測】
本章知識的高考命題熱點有以下兩個方面：
1.均值不等式是歷年高考的重點考查內(nèi)容，考查方式多樣，在客觀題中出現(xiàn)，一般只有一個選擇或填空，考查直接，難度較低；在解答題中出現(xiàn)，其應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且�？汲Ｐ�，難度較高。
2.不等式證明也是高考的一個重點內(nèi)容，且多以解答題的一個分支出現(xiàn)，常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合，題目往往非常靈活，難度高。線性規(guī)劃問題是近幾年高考的一個新熱點，在考題種主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，當(dāng)然，也可以實際問題進(jìn)行考查�？疾榱藘�(yōu)化思想在解決問題的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從而形成解決簡單實際問題的能力，進(jìn)一步考查了考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
3.預(yù)計在2012年高考中，對不等式的性質(zhì)和解不等式特別是含參數(shù)的不等式的解法，仍會繼續(xù)滲透在其他知識中進(jìn)行考查。對不等式的應(yīng)用，突出滲透數(shù)學(xué)思想方法和不等式知識的綜合應(yīng)用，特別是求最值問題、不等式證明問題，將繼續(xù)強(qiáng)調(diào)考查邏輯推理能力，尤其是不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角、解析幾何的綜合題型將會繼續(xù)出現(xiàn)在高考的中、高檔題中。
【要點梳理】
1.不等式的性質(zhì)與證明：
(1)不等式的基本性質(zhì);(2)均值不等式,應(yīng)用時要特別注意定理成立的三個條件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式組、簡單的一元高次不等式；(4)比較法證明:作差比較與作商比較法;(5)分析法與綜合法證明。
2.不等式的解法:
(1)簡單的一元高次不等式的解法:數(shù)軸標(biāo)根法
(2)分式不等式解法;(3)不等式的實際應(yīng)用題的解題步驟:審題、建立不等式模型、解數(shù)學(xué)問題、寫出答案.
對于不等式的應(yīng)用題有兩類:一類是建立不等式,解不等式;一類是建立函數(shù)式,求最大值或最小值.
3.二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題.
【考點在線】
考點一 不等式的性質(zhì)
例1.（2011年高考浙江卷文科6)若 為實數(shù),則“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件
【答案】 D
【解析】 則 不充分
則 不必要條件，故選D.
【名師點睛】本題考查不等式的性質(zhì)與充分必要條件,可利用作差比較法,也可用特殊值代法.
【備考提示】：不等式的性質(zhì)是高考考查的熱點之一,幾乎年年必考，不等式的性質(zhì)經(jīng)常與充分必要條件結(jié)合在一起綜合考查，熟練不等式的各項性質(zhì)是解答好本題的關(guān)鍵.
練習(xí)1:（2011年高考全國卷文科5)下面四個條件中，使 成立的充分而不必要的條件是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】 故選A.
【名師點睛】本小題先用“1”的代換,再展開后,應(yīng)用均值不等式.
【備考提示】：熟練掌握均值不等式及其變形公式是解答好本類題的關(guān)鍵.
練習(xí)2: 2010年高考山東卷文科14）已知 ，且滿足 ，則xy的最大值為 .
【答案】3
【解析】因為 ，所以 ，解得 ，故xy的最大值為3.
考點三 解不等式
高考要求掌握簡單不等式的解法.解不等式是研究函數(shù)和方法的重要工具，是求函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、求反函數(shù)和參數(shù)的取值范圍的重要手段，“不等式的變形”是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一，它滲透到高中數(shù)學(xué)的每個角落中（如函數(shù)、方程、集合、數(shù)列、平面向量、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)等），其基本思想是轉(zhuǎn)化思想．轉(zhuǎn)化的方法是: 超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次(或二次)不等式．其中準(zhǔn)確熟練求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，解一元高次不等式的有效方法是序軸法.此外,要重視數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的運用.
不等式的解法是高考必考內(nèi)容，直接考查主要以選擇題、填空題為主，這類題小巧靈活，�？汲Ｐ�；但有時也以解答題形式出現(xiàn)，主要考查含參數(shù)的不等式的解法.間接考查則更多，常以工具作用出現(xiàn)在函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、平面向量等問題之中,考查時重點考查一元二次不等式、分式不等式、含絕對值不等式，但偶爾也會涉及無理不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式的解法．
例3. (2011年高考遼寧卷理科9)設(shè)函數(shù)f（x）= 則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+ ） （D）[0，+ ）
【答案】 D
【解析】不等式等價于 或 解不等式組，可得 或 ，即 ，故選D.
【名師點睛】本題考查不等式的解法,包含指數(shù)與對數(shù)不等式.
【備考提示】：不等式的解法是高考的熱點問題之一,要熟練一元二次不等式（包括含有參數(shù)的）、簡單的分式不等式、指數(shù)與對數(shù)不等式.
練習(xí)3：(2011年高考廣東卷文科5)不等式 的解集是（ ）
A． B.
C． D．
【答案】D
【解析】由題得 所以選D.
考點四 線性規(guī)劃
線性規(guī)劃是高考熱點之一,考查內(nèi)容設(shè)計最優(yōu)解,最值,區(qū)域面積與形狀等,通常通過畫可行域,移線,數(shù)形結(jié)合等方法解決問題.
例4. (2011年高考安徽卷文科6)設(shè)變量x,y滿足 ,則 的最大值和最小值分別為( )
（A） 1， 1 (B) 2， 2 (C ) 1， 2 (D)2， 1
【答案】B
【解析】 三條直線的交點分別為（0,1），（0，－1），（1,0），分別代入 ，得最大值為2，最小值為－2.故選B.
【名師點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值與最小值問題.屬中等題.
【備考提示】：線性規(guī)劃問題不牽涉目標(biāo)函數(shù)的斜率問題時，可以不畫圖，直接將交點坐標(biāo)求出代入計算即可.
練習(xí)4：（2011年高考山東卷文科7)設(shè)變量x，y滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為( )
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】畫出平面區(qū)域表示的可行域如圖所示,當(dāng)直線 平移至點A(3,1)時, 目標(biāo)函數(shù) 取得最大值為10,故選B.
考點五 不等式的證明
高考要求掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是高中數(shù)學(xué)的難點，加之題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，因而備受命題者的青睞，成為高考的熱點問題.但由于在高考時，涉及到不等式證明的問題往往出現(xiàn)在壓軸題上，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因而不等式證明問題也就成為高考的難點問題.現(xiàn)在的高考沒有單獨命制不等式證明的試題，而是把它與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計等問題相結(jié)合命制成綜合的壓軸題，重在考查邏輯思維能力，以及常用的不等式證明方法（基本方法:比較法、綜合法、分析法;常用方法:放縮法、換元法、求導(dǎo)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等）.
例5.已知a，b∈R，且a+b=1.求證：
證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù),
也可用分析法、綜合法，反證法，實質(zhì)與比較法相同.
證法二：（放縮法）∵ , ∴左邊＝
＝右邊
證法三：（均值換元法）∵ ，所以可設(shè) ， ，
∴左邊＝ ＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立.
證法四：（判別式法）
設(shè)y= (a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有 ，
所以 ，因為 ，所以 ，即
故 .
【名師點睛】：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元,注意體驗不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.
【備考提示】：證明不等式的方法有許多，關(guān)鍵是靠平常的善于.
5. 已知 ，求證： ≥ ．
【解析】∵ ，∴ ≥ ，
兩邊同加上 得， ≥ ．
又 ≥ ，兩邊同加上 得， ≥ ≥ ，
∴ ≥ ．
【考題回放】
1.(2011年高考山東卷理科4)不等式 的解集為( )
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】 則 因為 所以 即 于是 所以 成立，充分條件；
反之 成立，即 則 ,故 ，不必要條件。故選A.
3.（2009年高考山東卷文科第5題）在R上定義運算 : ,則滿足 的實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知: ,解得 ,故選B.
4. (2011年高考天津卷文科5)已知 則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為 , 都小于1且大于0,故排除C,D;又因為 都是以4為底的對數(shù),真數(shù)大,函數(shù)值也大,所以 ,故選B.
5．(2011年高考廣東卷文科4)函數(shù) 的定義域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得 所以選C.
6．(2011年高考廣東卷文科6)已知平面直角坐標(biāo)系 上的區(qū)域 由不等式組 給定，若 為 上的動點，點 的坐標(biāo)為 ，則 的最大值為（ ）
A．3B．4
C． D．
【答案】B
【解析】由題得不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域D是如圖所示的直角梯形
OABC, ，
所以就是求 的最大值， 表示
數(shù)形結(jié)合觀察得當(dāng)點M在點B的地方時， 才最大。
,所以 ，所以選擇B
7.（2011年高考福建卷文科10)若a>0, b>0, 且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在 處有極值，則 的最大值等于( )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
【答案】D
【解析】 ,所以 在 處有極值,所以 ,即 ,又 ,所以 ,即 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立,所以 的最大值為9,選D.
當(dāng) 時， ；
當(dāng) 時， ，越往下的臨界值越小，故選C.
9．（2011年高考湖南卷文科3) 的( )
A．充分不必要條件 �。拢匾怀浞謼l件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】因 ，反之
，不一定有 。
10．（2011年高考湖北卷文科8)直線與不等式組 表示平面區(qū)域的公共點有( )
A.0個B.1個
C.2個D.無數(shù)個
【答案】B
【解析】畫出可行域（如圖示），可得B(0,2) , A(2,4),
C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由圖知有唯一交點，故選B.
11.(2011年高考安徽卷文科13)函數(shù) 的定義域是 .
【答案】（－3,2）
【解析】由 可得 ，即 ，所以 .
12．（2011年高考江西卷文科15)對于 ，不等式 的解集為_______.
【答案】
【解析】兩種方法，方法一：分三段，當(dāng)x<-10時， -x-10+x-2 ,
當(dāng) 時， x+10-x+2 ,
當(dāng)x>2時， x+10-x+2 ,x>2,
方法二：用絕對值的幾何意義，可以看成到兩點-10和2的距離差大于等于8的所有點的集合，畫出數(shù)軸線，找到0到-10的距離為 10，到2的距離為 2， ，并當(dāng)x往右移動，距離差會大于8，所以滿足條件的x的范圍是 .
13. （2011年高考海南卷文科14)若變量 滿足約束條件 ,則 的最小值為 .
【答案】-6
【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,平移目標(biāo)函數(shù)表示的直線,不難求出最小值為-6.
14．（2011年高考浙江卷文科16)若實數(shù) 滿足 ，則 的最大值是 .
【答案】
【解析】 .
15. (2011年高考天津卷文科12)已知 ,則 的最小值為 .
【解析】設(shè)坐標(biāo)原點的直線方程為 ,則由 解得交點坐標(biāo)為 、 ，即為P、Q兩點，所以線段PQ長為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.
【高考沖策演練】
一、選擇題：
1.（2010年高考天津卷文科7）設(shè)集合 則實數(shù)a的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】因為 ， ，所以 或 ，解得
實數(shù)a的取值范圍是 ，故選C.
2．（2010年高考福建卷文科5）設(shè)x,y ,且 ,則 的最小值等于( )
A.2 B.3 C.5 D.9
【答案】B
【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，
當(dāng)直線 過點（1，1）時， 取得最小
值3，故選B。
3．(2010年高考江西卷文科1)對于實數(shù) ，“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng) 時， 不能得 ， .
4．(2010年高考江西卷文科2)若集合 ， ，則 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 .
5．(2010年高考江西卷文科5)不等式 的解集是( )
A． B． C． D．
6. (2010年高考浙江卷文科6)設(shè)0＜x＜ ，則“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的( )
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為0＜x＜ ，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，結(jié)合xsin2x與xsinx的取值范圍相同，可知答案選B.
7. (2010年高考寧夏卷文科11)已知 ABCD的三個頂點為A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），點（x，y）在 ABCD的內(nèi)部，則z=2x-5y的取值范圍是( )
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）
【答案】B
【解析】由已知條件得 ，由 得 ，所以當(dāng)直線經(jīng)過點B（3，4）時， 最大，即 取最小為 ；當(dāng)直線經(jīng)過點D（0， ）時， 最小，即 取最大為20，又由于點 在四邊形的內(nèi)部，故 ．
8．（2010年高考廣東卷文科8）“ >0”是“ >0”成立的( )
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．非充分非必要條件 D．充要條件
9．（2010年高考陜西卷文科6）“a＞0”是“ ＞0”的( )
(A)充分不必要條件（B）必要不充分條件
（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件
【答案】A
10．（ 2010年高考全國Ⅰ卷文科7）已知函數(shù) .若 且， ，則 的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析1】因為 f(a)=f(b),所以lga=lgb,所以a=b(舍去)，或 ，所以a+b=
又0
【解析2】由0
（A） （B） (C) (D)
【解析】由 且 可得 ，但反之不成立，故選A.
二．填空題：
13．（2011年高考陜西卷文科12)如圖，點 在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么 的最小值為 .
【答案】1
【解析】令 ， 所以 過 時在軸上截距最大，即 時 有最小值為
14．（2011年高考重慶卷文科15)若實數(shù) 的最大值是
【答案】
15．（2011年高考湖南卷文科14)設(shè) 在約束條件 下，目標(biāo)函數(shù) 的最大值為4，則 的值為 ．
【答案】3
【解析】畫出可行域，可知 在點 取最大值為4，解得 .
16．（2010年高考天津卷文科16）設(shè)函數(shù)f(x)=x- ,對任意x 恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為對任意x ， 恒成立，所以
當(dāng) 時，有 對任意x 恒成立，即 ，解得 ，即 ；當(dāng) 時，有 對任意x 恒成立，x無解，綜上所述實數(shù)m的取值范圍是 .
三．解答題：
17．(2011年高考安徽卷理科19)
（Ⅰ）設(shè) 證明 ，
（Ⅱ） ，證明 .
【證明】(Ⅰ)由于 ，所以
要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
由于 ，上式顯然成立，所以原命題成立。
(Ⅰ)當(dāng) 時，求函數(shù) 的表達(dá)式；
(Ⅱ)當(dāng)車流密度 為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時） 可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）
【解析】（Ⅰ）由題意：當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，設(shè)
再由已知得 ，解得
故函數(shù) 的表達(dá)式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當(dāng) 時， 為增函數(shù)，故當(dāng) 時，其最大值為60×20=1200；
當(dāng) 時，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，等號成立.
所以，當(dāng) 時， 在區(qū)間[20,200]上取得最大值 .
綜上，當(dāng) 時， 在區(qū)間[0,200]上取得最大值 .
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時.
19．（2010年高考遼寧卷文科24）已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a2+b2+c2+ ≥6 ，并確定a,b,c為何值時，等號成立.
【解析】證明：(證法一)
因為a,b,c均為正數(shù)，由平均值不等式得
a2+b2+c2≥ ①
≥
所以 ≥ .②
故a2+b2+c2+ ≥
又 ≥ ，③
所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立.當(dāng)且僅當(dāng) 時, ③式等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時,原式等號成立.
(證法二)
因為a,b,c均為正數(shù),由基本不等式
a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ac.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 ≥ ②
故a2+b2+c2+( )2
≥ab+bc+ac+3 +3 +3
≥6 .③
所以原不等式成立
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時,③式等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時,原式等號成立.
20．（2010年高考廣東卷文科19）某營養(yǎng)師要求為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？
【解析】設(shè)為該兒童分別預(yù)訂 個單位的午餐和 個單位的晚餐，設(shè)費用為F，則F ，由題意知：
畫出可行域：
變換目標(biāo)函數(shù)：
21. （2009年高考江蘇卷第19題）按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為 元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為 元，則他的滿意度為 ；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為 元，則他的滿意度為 .如果一個人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為 和 ，則他對這兩種交易的綜合滿意度為 .現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為 元和 元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為 ，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為 .
(1)求 和 關(guān)于 、 的表達(dá)式；當(dāng) 時，求證： = ；
(2)設(shè) ，當(dāng) 、 分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
(3)記(2)中最大的綜合滿意度為 ，試問能否適當(dāng)選取 、 的值，使得 和 同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。
【解析】(1)
當(dāng) 時， ,
, =
（3）（方法一）由（2）知： =
由 得： ，
令 則 ，即： 。
同理，由 得：
另一方面，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 = 時，取等號。
所以不能否適當(dāng)選取 、 的值，使得 和 同時成立，但等號不同時成立。
22．設(shè) 為實數(shù)，函數(shù) .
(1)若 ，求 的取值范圍；
(2)求 的最小值；
(3)設(shè)函數(shù) ，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式 的解集.
【解析】（1）若 ，則
（2）當(dāng) 時，
當(dāng) 時，
綜上
（3） 時， 得 ，
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