一、選擇題

 

1.有一長為米的斜坡，它的坡度為，公路建設(shè)部門根據(jù)要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)�，則坡底將伸長(    ).

 

A.米         B. 米       C. 米      D. 米

 

考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應(yīng)用.

 

答案：D.

 

解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長. 根據(jù)題意可知，，，，根據(jù)正弦定理得，∴.

 

 

2.(2010北京文)某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為(    ).

 

 

A.        B.

 

C.       D.

 

考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.

 

答案：A.

 

解析：根據(jù)已知條件，四個等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長為，所以該八邊形的面積為 .

 

3.(由2009浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，且滿足，若．則的面積為(      ).

 

A.         B.          C.        D.

 

考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數(shù)量積以及運算求解能力.

 

答案：C.

 

解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.

 

二、填空題

 

4.(2011上海理)在相距2千米的兩點處測量目標(biāo)，若，，則兩點之間的距離是              千米.

 

考查目的：考查三角形內(nèi)角和定理、正弦定理的應(yīng)用.

 

答案：.

 

解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

 

5.三角形的一邊長為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為，則這個三角形的面積為      .

 

考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.

 

答案：.

 

解析：不妨設(shè)的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.

 

6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時的速度航行，若我艦要用小時追上敵艦，則我艦追擊的速度為                ，方向為                  (精確到).

 

 

考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應(yīng)用.

 

答案：小時，北偏東.

 

解析：設(shè)我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據(jù)余弦定理得，，∴.設(shè)我艦追擊的方向為北偏東角度，由正弦定理得，，∴，故.

 

三、解答題：

 

7.(2008上海)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點及點處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(精確到1米)．

 

 

考查目的：考查利用余弦定理解決實際問題的能力以及運算求解能力.

 

答案：米

 

解析：(方法一)設(shè)該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

 

    (方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

 

 

8.在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.

 

考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)以及運算求解能力.

 

答案：.

 

解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.

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