一、教學(xué)內(nèi)容：橢圓的方程

要求：理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．

重點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．

難點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．

二、點(diǎn)：

1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形和性質(zhì)

定 義

第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) ）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

第二定義：

平面內(nèi)到動(dòng)點(diǎn)距離與到定直線距離的比是常數(shù)e．（0<e<1）

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程

焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖 形

焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

性 質(zhì)

焦點(diǎn)在x軸上

范 圍：

對稱性： 軸、 軸、原點(diǎn)．

頂點(diǎn)： ， ．

離心率：e

概念：橢圓焦距與長軸長之比

定義式：

范圍：

2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：（1）定義：r1＋r2=2a

（2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（ ）

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1、橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，長軸長為___2____，短軸長為2、橢圓 的值是__3或5__；

3、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ___；

4、已知橢圓 上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 的距離是7，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)5、設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B1B是短軸， ，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡的結(jié)果是 ；

滿足方程7、若橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率為

8、直線y=kx－2與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標(biāo)系 頂點(diǎn) ，頂點(diǎn) 在橢圓 上，則10、已知點(diǎn)F是橢圓 的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（4，1）是橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的最大值是 8 ．

【典型例題】

例1、（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，短軸長為4，求橢圓的方程．

解：設(shè)方程為 ．

所求方程為

（2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程．

解：設(shè)方程為 ．

所求方程為（3）已知三點(diǎn)P，（5，2），F(xiàn)1 （-6，0），F(xiàn)2 （6，0）．設(shè)點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為 ，求以 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的橢圓方程 ．

解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ∴所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4）求經(jīng)過點(diǎn)M（ ， 1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解：設(shè)方程為

例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心） 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面2384km，并且 、A、B在同一直線上，設(shè)地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程 （精確到1km）．

解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B、 在 軸上，

則 =OA－O = A=6371＋439=6810

解得 =7782.5， =972.5

．

衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程為

例3、已知定圓

分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據(jù)圖形，用符號表示此結(jié)論：

上式可以變形為 ，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓

解：知圓可化為：圓心Q（3，0），

設(shè)動(dòng)圓圓心為 ，則 為半徑 又圓M和圓Q內(nèi)切，所以 ，

即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以 ，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是：

例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是 ｜和｜（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)P在第三象限，且∠ =120°，求 ．

選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題．

解：（1）由題設(shè)｜ ｜=2｜ ｜=4

∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為 ．

（2）設(shè)∠ ，則∠ =60°－θ

由正弦定理得：

由等比定理得：

整理得： 故

．

說明：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理．對于第二問還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標(biāo)先求出來，再去解三角形作答

例5、如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向 軸作垂線段PP?@，求線段PP?@的中點(diǎn)M的軌跡（若M分 PP?@之比為 ，求點(diǎn)M的軌跡）

解：（1）當(dāng)M是線段PP?@的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，則 的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn) 在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，

所以有 所以點(diǎn)

（2）當(dāng)M分 PP?@之比為 時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，則 的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn) 在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ，

即所以點(diǎn)

例6、設(shè)向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （I）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；

（II）已知點(diǎn)A（－1， 0），設(shè)直線y= （x－2）與點(diǎn)P的軌跡交于B、C兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6

上式即為點(diǎn)P（x， y）到點(diǎn)（－m， 0）與到點(diǎn)（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F(xiàn)2（m， 0）（0<m<0），則F1F2=2m＜6．

∴ PF1＋PF2=6＞F1F2

又∵x＞0，∴P點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的右半部分．

∵ 2a=6，∴a=3

又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2

∴ 所求軌跡方程為 （x＞0，0＜m＜3）

（ II ）設(shè)B（x1， y1），C（x2， y2），

∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）

= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]

若存在實(shí)數(shù)m，使得 成立

則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=

可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①

再由

消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②

因?yàn)橹本�與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)．

所以

由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時(shí)△＞0

但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設(shè)矛盾

∴ 不存在符合題意的實(shí)數(shù)m，使得

例7、已知C1： ，拋物線C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

（Ⅱ）若p= ，且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1， ）或（1，－ ）．

∵點(diǎn)A在拋物線上，∴

此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上．

（Ⅱ）當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB上時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x－1）．

由 （kx－k－m）2= ①

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F´（ ，m）在y=k（x－1）上．

所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2=

由

（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③

由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2=

從而 = k2=6即k=±

又m=－ ∴m= 或m=－

當(dāng)m= 時(shí)，直線AB的方程為y=－ （x－1）；

當(dāng)m=－ 時(shí)，直線AB的方程為y= （x－1）．

例8、已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為e．直線l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè) = ．

（Ⅰ）證明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程；

（Ⅲ）確定解：（Ⅰ）因?yàn)锳、B分別為直線l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是A（－ ，0），B（0，a）．

由 得 這里∴M = ，a）

即 解得

（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， ∴a=2c

由△MF1F2的周長為6，得2a＋2c=6

∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3

故所求橢圓C的方程為

（Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C．

設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由

PF1= =得： =e ∴e2= 于是

即當(dāng)（注：也可設(shè)P（x0，y0），解出x0，y0求之）

【模擬】

一、選擇題

1、動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn) 和 的距離的和為8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 （ ）

A、橢圓 B、線段 C、無圖形 D、兩條射線

2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）

A、 C、2－ －1

3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C： 的焦點(diǎn)，在C上滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）

A、2個(gè) B、4個(gè) C、無數(shù)個(gè) D、不確定

4、橢圓 的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為 （ ）

A、32 B、16 C、8 D、4

5、已知點(diǎn)P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則 的最小值為（ ）

A、 C、

6、我們把離心率等于黃金比 是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 等于（ ）

A、 C、

二、填空題

7、橢圓 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，焦距為 ，長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，準(zhǔn)線方程為 ．

8、設(shè)F是橢圓 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2， ），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是 ．

9、設(shè) ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 ，則得 ．

10、若橢圓 =1的準(zhǔn)線平行于x軸則m的取值范圍是

三、解答題

11、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）和橢圓 共準(zhǔn)線，且離心率為 ．

（2）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 和 ，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．

12、已知 軸上的一定點(diǎn)A（1，0），Q為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程

13、橢圓 的焦點(diǎn)為 =（3， －1）共線．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)M是橢圓上任意一點(diǎn)，且 = 、 ∈R），證明 為定值．

【試題答案】

1、B

2、D

3、A

4、B

5、D（法一：設(shè) ，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的有界性求解）

6、C

7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ．

8、 ∪

9、

10、m＜ 且m≠0．

11、（1）設(shè)橢圓方程 ．

解得 ， 所求橢圓方程為（2）由 ．

所求橢圓方程為 的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn) 為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)

所以有

所以中點(diǎn)

13、解：設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則 為鈍角．當(dāng)且僅當(dāng) ．

14、（1）解：設(shè)橢圓方程 ，F(xiàn)（c，0），則直線AB的方程為y=x－c，代入 ，化簡得：

，

x1x2=

由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共線，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，

又y1=x1－c，y2=x2－c

∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=

即 = ，∴ a2=3b2

∴ 高中地理 ，故離心率e= ．

（2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓 可化為x2＋3y2=3b2

設(shè) = （x2，y2），∴ ，

∵M(jìn)∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2

即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．

x1x2= = 2

x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）

=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0

又 =3b2代入①得

為定值，定值為1．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/49882.html

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