一. 教學內(nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系（二）
二. 重點、難點：
1. 相交弦定理
2. 割線定理
3. 切割線定理
4. 切線長定理
【典型例題】
[例1] 如圖，⊙O是直角三角形的直角邊AB為直徑的圓ED與⊙O切于D，求證：
證明：連結(jié)OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切線 ∴ EB=ED 又EO=EO
∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴ ∠1=∠2
∵ ∠A=< style= > ∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD，∠1=∠2
∴ BD⊥OE ∴ BD⊥CA 又 AB⊥BC ∴ △ABC∽△BDC
∴ 即
[例2] 如圖，AB是半圓的直徑，E是 上任意一點，過E作半圓的切線CD，分別過A，B作半圓的切線交CD于C、D兩點，連結(jié)AD，BC交于P點，連結(jié)EP且延長交AB于F點，求證：EP=FP。
證明：∵ CA、CE是⊙O的切線 ∴ CA=CE 同理DE=DB
∵ CA是切線且AB為直徑 ∴ CA⊥AB 同理DB⊥AB
∴ CA//DB ∴ △CAP∽△BDP ∴
∴ EP//CA ∴ ∴ ∴
[例3] 如圖所示，已知：P為正△ABC外接圓上一點，連結(jié)PB，PC和PA，D是PA和BC的交點。求證：
證明：在△PBD和△CAD中，∵ ∠PBD=∠CAD ∠PDB=∠CDA
∴ △PBD∽△CAD ∴ 同理可證∴ ∴
[例4] 如圖，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，且∠I ∠BOC=180°，求∠BAC。
解：∵ ∠BOC=2∠A ∠BIC=90° 2∠A=180°
5∠A=180° ∠A=36°
[例5] 如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點C，AD⊥CE，垂足為D，求證：AC平分∠BAD。
證明：連結(jié)BC ∵ AB是⊙O的直徑 ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B ∠CAB=90°
∵ AD⊥CE ∴ ∠ADC=90° ∴ ∠ACD ∠DAC=90°
∵ AC是弦，且CE和⊙O切于點C ∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠DAC=∠CAB
∴ AC平分∠BAD
[例6] 已知：如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過A、B兩點，AC是⊙O′的切線交⊙O于點C，AD是⊙O的切線交⊙O′于點D，求證：
證明：∵ ∠C=∠1 ∠2=∠D ∴ △ACB∽△DAB ∴
∴
[例7] 已知：如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6cm，AB=解：設(shè)⊙O的半徑為r，PO和它的延長線交⊙O于C、D
根據(jù)切割線定理的推論，有∵ PB=PA AB=∴ ∴ ⊙O的半徑為8cm
[例8] 已知：如圖所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O為AC上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的半圓交AB于E、F兩點，且E為AB的中點，D為半圓與AC的另一交點。
（1）求CF的長；
（2）求BF的長；
（3）求證：AD是方程解：（1）連結(jié)CE ∵ E是 的斜邊AB的中點 ∴ CE=AE
∴ ∠ECA=∠A=15° ∴ ∠FEC=30°
由題意可知，BC垂直于⊙O的半徑OC ∴ BC與⊙O相切于點C
∴ ∠BCF=∠FEC=30° ∵ ∠B=90°－∠A=75°
∴ ∠BFC=180°－（∠B ∠BCF）=180°－（75° 30°）=75°
∴ ∠B=∠BFC ∴ CF=BC=1
（2）連結(jié)OE、OF ∵ OC=OF ∠COF=2∠FEC=60°
∴ △COF是正△ ∴ OC=OF=CF=1
∵ ∠ ECF=90°－（∠BCF ∠ECA）=90°－（30° 15°）=45°
∴ ∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°
∴ △EOF是等腰直角三角形 ∴ EF=由切割線定理得∴ 即
解得 ， （舍）
（3）∵ ∴ ∵ AF=AE EF=∴ 根據(jù)切割線定理
即
∴ AD是方程
[例9] 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12cm和16cm兩段第二條弦的長為32cm，求第二條弦被交點分成的兩段的長。
解：設(shè)第二條弦被交點分成的一段長為xcm，則另一段長為
根據(jù)相交弦定理有
另一段 或另一條弦被交點分成的兩段長分別為8cm，24cm。
[例10] 如圖所示，⊙O分別切AB、AC于E、F，且交BC于M，N兩點，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面積為S1，⊙O的面積為S2，（1）求證：BM=NC；（2）求BM。
證明：（1）連結(jié)AO交BC于D ∵ AB、AC都是⊙O的切線
∴ ∠DAB=∠OAC ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴ AO是BC的垂直平分線
∴ BD=DC ∵ OD⊥MN ∴ MD=DN ∴ BM=NC
（2）連結(jié)OE、OF，則四邊形AEOF是四邊形，設(shè)AE=x，則AB=x 1
S1= S2= 或∴ AE=4 AB=5 BC=設(shè)BM=y，由切割線定理得
即 ∴
【模擬
1. 給出下列說法：① 和圓有一個公共點的直線是圓的切線；② 和半徑垂直的直線是圓的切線；③ 到圓心的距離等于這個圓的半徑的直線是圓的切線；④ 圓的切線垂直于半徑。其中正確的個數(shù)是（ ）
A. 0 高考 B. 1 C. 2 D. 3
2. ⊙O1和⊙O2的半徑分別為8和5，兩圓沒有公共點，則圓心距O1O2的取值范圍是（ ）
A. O1O2>13 B. O1O2<3
C. 3<O1O2<13 D. O1O2>13或O1O2<3
3. 圓的最大弦長為m，若直線與圓相交，設(shè)圓心到直線的距離為 ，則（ ）
A. B. D.
5. 如圖所示，兩枚大小相同的硬幣，一枚固定不動，另一枚繞其邊緣滾動（無滑動），當運動硬幣滾動到原來位置（與第一次重合）時，運動硬幣外轉(zhuǎn)了（ ）
A. 1圈 B. 2圈 C. 3圈 D. 4圈
6. 如圖，⊙M與x軸相切于原點，平行于y軸的直線交圓于P、Q兩點，P在Q點的下方，若點P的坐標（2，1），則圓心M的坐標是（ ）
A.（0，3） B.（0， ） C.（0，2） D.（0， ）
7. 如圖，直線 與⊙O1、⊙O2、⊙O3都相切，且這三圓兩兩相切，⊙O3的半徑為4，⊙O1與⊙O2是兩個相等圓，則⊙O1的半徑是（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
8. 如圖，⊙O1與⊙O2，它們的半徑分別為3和1，過O1作⊙O2的切線，切點為A，則O1A的長為（ ）
A. 4 B. 2 C.
9. 現(xiàn)在半徑為R的兩圓外切，能與這兩圓都相切且半徑為2R的圓共有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
10. 如圖，⊙O1與⊙O2外切于點P，直線AB過點P交⊙O1于A，交⊙O2于B，點C、D分別為⊙O1、⊙O2上的點，且∠ACP=65°，則∠BDP等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 65°
11. 如圖，三個半徑為<4" height:107.25pt'>
12. 在△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以點A為圓心，以2cm 為半徑作圓，則點C和⊙A的位置關(guān)系是（ ）
A. C點在⊙A上 B. C點在⊙A外
C. C點在⊙A內(nèi) D. 不能確定
13. 如圖，在⊙O中，AB、AC是⊙O內(nèi)相垂直的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O的半徑OA長為（ ）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
14. 如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC等于（ ）
A. <6" style='width:24pt; > B. C.
15. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 三點可以確定一個圓
B. 三角形的外心是三角形三邊中線的交點
C. 一個三角形有且只有一個外接圓
D. 三角形的外心必在三角形的內(nèi)部
16. 已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線 的距離為 ，若直線 與⊙O有交點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. C.
17. 已知兩圓的半徑分別為R1，R2，兩圓的圓心距為 ，如果兩圓既有內(nèi)公切線，又有外公切線，那么這兩圓半徑的和與圓心距之間的關(guān)系應(yīng)是（ ）
A.
C.
18. 如圖，半徑為4的兩等圓外切，它們的一條外公切線與兩圓圍成的陰影部分中，存在的最大圓的半徑等于（ ）
A. B. C. D. 1
19. 如圖，兩個以O(shè)為圓心的同心圓AB切大圓于B，AC切小圓于C，交大圓于D、E，AB=12，AO=15，AD=8，求兩圓的半徑。
【試題答案
1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. D
11. B 12. B 13. B 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D
19. 解：連結(jié)OB、OC ∵ AB切大圓于B，AC切小圓于C
∴ OB⊥AB，OC⊥AC ∵ DE是大圓的弦 ∴ DC=CE
在 中，
在大圓中，根據(jù)切割線定理 ∴ 8AE=122 AE=18
∴
∴ 兩圓的半徑分別為9和
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