均值不等式 < style='width:141.75pt; > 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立）是一個重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問題。對于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形。

一、配湊

1. 湊系數(shù)

例1. 當(dāng)< style='width:46.5pt;'> 時，求 的最大值。

解析：由< style='width:46.5pt;'> 知， ，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到 為定值，故只需將

當(dāng)且僅當(dāng) ，即x＝2時取等號。

所以當(dāng)x＝2時， 的最大值。

解析：由題意知 ，首先要調(diào)整符號，又 不是定值，故需對 進(jìn)行湊項才能得到定值。

∵

當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立。

評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。

3. 分離

例3. 求 的值域。

解析：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當(dāng) ，即 時

，即 時

的值域為 。

評注：分式函數(shù)求最值，通常化成 ，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用均值不等式來求最值。

二、整體代換

例4. 已知 ，求 的最小值。

解法1：不妨將 乘以1，而1用a＋2b代換。

當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，由

即 時， 的最小值為 。

解法2：將 分子中的1用

評注：本題巧妙運用“1”的代換，得到 與 的積為定值，即可用均值不等式求得 的最小值。

三、換元

例5. 求函數(shù) ，則 時，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 。

評注：本題通過換元法使問題得到了簡化，而且將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。

四、取平方

例6. 求函數(shù) 的和為定值。

又

當(dāng)且僅當(dāng) 。

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

［練一練］

1. 若 的最大值。

2. 求函數(shù) 的最小值。

3. 求函數(shù) 的最小值。

4. 已知 ，且 ，求 的最小值。

參考答案：1. 2. 5 3. 8 4.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/58771.html

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