全國初中數(shù)學競賽天津賽區(qū)初賽試卷
一、
⑴若四個互不相等的正實數(shù) 滿足 ， ，則 的值為（）
⑵一個袋子中裝有 個相同的小球，它們分別標有號碼 .搖勻后隨機取出一球，記下號碼后放回；再將小球搖勻，并從袋中隨機取出一球，則第二次取出的球的號碼不小于第一次取出的球的號碼的概率為（）
⑶如圖，矩形紙片 中， ， ，將其折疊，使點 與點 重合，得折痕 ，則 的長為（）
（A） （B） （C） （D）
⑷在正就變形 中，若對角線 ,則 的值等于（）
（A） （B） （C） （D）
⑸有 個人報名參加甲、乙、丙、丁四項體育比賽活動，規(guī)定每人至少參加1 項比賽，至多參加2項比賽，但乙、丙兩項比賽不能同時兼報，若在所有的報名方式中，必存在一種方式至少有20個人報名，則 的最小值等于 （ ）
( ) 171 ( ) 172 ( ) 180 ( ) 181
二、題
⑹若 ，則 的值為
⑺若四條直線 所圍成的凸四邊形的面積等于 ，則 的值為__________.
⑻如圖，半徑為 的 沿折線 作無滑動的滾動，如果 ， ，那么， 自點 至點 轉(zhuǎn)動了__________周.
(9)如圖，已知 中， 為 中點， 為 邊三等分點， 分別交 于點 ，則 等于¬_______.
(10)若平面內(nèi)有一正方形 ， 是該平面內(nèi)任意點，則 的最小值為______.
三、解答題
⑾已知拋物線 經(jīng)過點 ，且與 軸交于兩點 ，若點 為該拋物線的頂點，求使 面積最小時拋物線的解析式。
⑿如圖，分別以邊長1為的等邊三角形 的頂點為圓心，以其邊長為半徑作三個等圓，得交點 ，連接 交 于點 ，以點 為圓心， 長為半徑畫弧，交邊 于點 ，求 的長。
⒀已知 與 同為質(zhì)數(shù)，求 的值。
⒁已知關(guān)于 的不等式組 的解集中的整數(shù)恰好有2個，求實數(shù) 的取值范圍。
答案及詳解
1、答案： �？蓪� 與 看做方程 的兩個解，則 化為 ，因為 ，所以原式
2、答案：D�？梢苑炙姆N情況討論：若第一次抽出1號球，則第二次抽出任一球都可滿足條件，概率為 ；若第一次抽出2號球，則第二次抽出 號球可滿足要求，概率為 ；若第一次抽出3號球，則第二次抽出 號球可滿足要求，概率為 ；若第一次抽出4號球，則第二次抽出4號球可滿足要求，概率為 ；加和得到最后概率為
3、答案： 。因為 ，所以 ，根據(jù)勾股定理得到 ，得到 ，易得 ，過點 作 于 ， ，
4、答案： 。如圖，設(shè) 為正九邊形 的中心，連結(jié) ，則 ， ，又易得 ， ，在 上截取 連結(jié) ， ， ， ，又 ， ， ，又
5、答案： 。對于一個人來說，他的報名方式有兩種：報一項或兩項。報一項比賽的方式有4種，報兩項比賽的方式有 種，每個人報名方式有9種，要求有20人相同，可以讓每一種方式都有19個人，然后只要任意一種再加一個人即可。所以應(yīng)該為
6、答案： 。 ，展開后 ， ， 即 ， ，
7、答案： 或 。無論 為正或負，圍成的圖形均為直角梯形或直角三角形，面積都等于中位線乘以高，高為4，則中位線為3。中位線一定在 這條直線上，則可得到中點坐標為 或 ，則代入 得到 或
8、答案： 。 的長度剛好為圓的一個周長，4段線段長度和為4倍周長，也就是圓轉(zhuǎn)了4周，但經(jīng)過點 從 到 時，從與 相切到與 相切轉(zhuǎn)動了一個 補角的度數(shù)，同理 兩點都要轉(zhuǎn)一個補角度數(shù)，總共轉(zhuǎn)了 ，即 周長
9、答案： 。如圖，作 ， ， ， ， ， ， ， ， ,
10、答案： 。如圖，通過勾股定理易得 ， ， ， ， ， ，又 ，所以當 最小時，這個值最小，所以當 時最小，即點 與點 重合時
11、因為 經(jīng)過 ，代入得， ， ， 點縱坐標為 ， ，當 時 最小，解析式為
12、如圖，過點 作 ，連結(jié) ，易得 為正三角形，所以 ，又 ， ， ， ，
13、 ，①當 ，即 時， ，即 為合數(shù)，不符合題意；②當 ，即 時， ，即 為合數(shù)，不符合題意；③當 時， 為合數(shù)，不符合題意；此時 只能取 ，當 時， 為合數(shù)符合題意，所以
14、
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