單元檢測四 圖形初步與三角形
(時間：120分鐘 總分：120分)
一、(每小題3分，共30分)
1．如圖所示，l∥，等腰直角△ABC的直角頂點C在直線上，若∠β＝20°，則∠α的度數(shù)為( )
A．25° B．30° C．20° D．35°
2．如圖，直線AB，CD交于點O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于點C，若∠ECO＝30°，則∠DOT等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．平面上不重合的兩點確定一條直線，不同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點最多可確定21條直線，則n的值為( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如圖，直線AB與直線CD相交于點O，E是∠AOD內(nèi)一點，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，則∠COE的度數(shù)是( )
A．125° B．135° C．145° D．155°
5．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，則tan A的值為( )
A．2 B．12 C．55 D．255
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分別是△ABC，△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有( )
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
7．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點，CD＝4，則線段DF的長度為( )
A．22 B．4 C．32 D．42
8．如圖，等腰△ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為( )
A．13 B．14 C．15 D．16
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝13，CD＝6，則AC＋BC等于( )
A．5 B．513 C．1313 D．95
10．如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上， 則AP的長是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
二、題(每小題3分，共24分)
11．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝__________.
12．如圖，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可補充的條件是__________(寫出一個即可)．
13．如圖，∠ABC＝50°，AD垂直平分線段BC于點D，∠ABC的平分線BE交AD于點E，連 接EC， 則∠AEC的度數(shù)是__________．
14．邊長為6 c的等邊三角形中，其一邊上高的長度為__________．
15．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB＝14 c，則陰影部分的面積是__________ c2.
16．如圖，等邊△ABC中，D，E分別是AB，BC邊上的兩動點，且總使AD＝BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則FGAF＝__________.
17．如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于點B，C，連接AC，BC．若∠ABC＝67°，則∠1＝__________.
18．如圖，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，點B落在點D處，連接BD，若∠ACB＝100°，則∠CBD＝________°.
三、解答題(共66分)
19．(6分)在一次數(shù)學課上，王老師在黑板上畫出了如圖所示的圖形，并寫下了四個等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠DCE.
要求同學們從這四個等式中選出兩個作為條件，推出△AED是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．(寫出一種即可)
已知：
求證：△AED是等腰三角形．
證明：
20．(6分)已知：如圖，銳角△ABC的兩條高CD，BE相交于點O，且OB＝OC，
(1)求證：△ABC是等腰三角形；
(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．
21．(8分)如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連接CD，EB．
(1)圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；
(2)求證：CF＝EF.
22．(8分)如圖，甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以60海里/時的速度沿北偏東60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小時后甲船到達C點，乙船正好到達甲船正西方向的B點，求乙船的速度．(3≈1.7)
23．(9分)下面材料：
問題：如圖(1)，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC＝2.求BD的長．
小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進行翻折，再經(jīng)過推理、計算使問題得到解決．
(1)請你回答：圖中BD的長為_____ ___；
(2)參考小明的思路，探究并解答問題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB的長．
24．(9分)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點D是射線CB上任意一點，△ADE是等邊三角形，且點D在∠ACB的內(nèi)部，連接BE.探究線段BE與DE之間的數(shù)量關系．
請你完成下列探究過程：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行 分析并加以證明．
(1)當點D與點C重合時(如圖2)，請你補全圖形．由∠BAC的度數(shù)為______，點E落在________________，容易得出BE與DE之間的數(shù)量關系為__________；
(2)當點D在如圖3的位置時，請你畫出圖形，研究線段BE與DE之間的數(shù)量關系是否與(1)中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．
25．(10分)如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點，△APQ為等邊三角形．
(1)求證：AB∥CQ.
(2)AQ與CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出點P在BC上的位置，并給予證明；若AQ與CQ不能互相垂直，請說明理由．
26．(10分)( 1)把兩個含有45°角的直角三角板如圖(1)放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F.求證：AF⊥BE.
(2)把兩個含有30°角的直角三角板如圖(2)放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F.問AF與BE是否垂直？并說明理由．
參考答案
一、1.A 2.C 3.C
4．B ∵∠BOD＝45°，∴∠AOC＝45°.
∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝135 °.
5．B 6.A 7.B
8．A 由題意得AB＝AC＝12×(21－5)＝8.
∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.
∴BE＋BC＋CE＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13.
9．B 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2＝132＝169，①
由三角形面積法可得，12AC•BC＝12CD•AB，
即2AC•BC＝156，②
①＋②，得(AC＋BC)2＝325，
所以AC＋BC＝513.
10．C 如圖，連接PD，由題知∠POD＝60°，OP＝OD，
∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A＋∠APO＝180°，
∴∠2＝∠APO.
同理∠1＝∠CDO.
∴△APO≌△COD.
∴AP＝OC＝AC－AO＝9－3＝6.
故選C.
二、11.80°
12．AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D) 由已知條件，根據(jù)SAS(AAS，ASA)定理，確定可補充的條件為AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)．
13．115° 14.33 c 15.492 16.12 17.46° 18.10
三、19.解：本題答案不唯一：已知：①③.
證明：在△ABE和△DCE中，
∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
20．(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵CD，BE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB.
∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：點O是在∠BAC的平分線上．連接AO，
∵△BDC≌△CEB，∴DC=EB.
∵OB=OC，∴OD=OE.
∵∠BDC=∠CEB=90°，
∴點O是在∠BAC的平分線上．
21．(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)證明：如圖，連接CE.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE.
∴∠A CE＝∠AEC.
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED.
∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，即∠BCE＝∠DEC.
∴CF＝EF.
22．解：由題意得AC＝60×12＝30(海里)，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°
在Rt△ABC中，∵tan 30°＝ABAC，
∴AB＝AC×tan 30°＝30×33＝103≈10×1.7＝17(海里)．
∴乙船的速度是17÷12＝34(海里/時)．
答：乙船的速度約為34海里/時．
23．解：(1)BD＝22
(2)如圖，把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，
∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE為等邊三角形．
∴DC=DE.
在AE上截取AF=AB，連接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD=DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED=75 °，∠ABD=105°.
∴∠AFD=105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF=DE.
∴BD=DC=2.
作BG⊥AD于點G，
∴在Rt△BDG中，BG=2.
∴在Rt△ABG中，AB=22.
24．解：(1)60° AB的中點處 BE＝DE 圖形如下．
(2)完成畫圖如下圖所示．
猜想：BE=DE.
證明：取AB的中點F，連接EF.
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=12AB.
∴△ACF是等邊三角形．
∴AC=AF.
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠CAD=∠FAE.
∴△ACD≌△AFE(SAS)．
∴∠ACD=∠AFE=90°.
∵F是AB的中點，
∴EF是AB的垂直平分線．
∴BE=AE.
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE.∴BE=DE.
25．(1)證明：∵△ABC和△APQ都為等邊三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ ，
∴△ACQ≌△ABP(SAS)，
∴∠ACQ＝∠ABP＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ，
∴AB∥CQ.
(2)解：當點P在BC邊的中點時，∠AQC＝90°.
證明：∵P是BC的中點，
∴∠PAC＝12∠BAC＝30°.
∵∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAQ－∠PAC＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ＝60°，
∴∠AQC＝90°，∴AQ與CQ互相垂直．
26．解：(1)證明：在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90 °，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°.
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
(2)AF⊥BE.
理由：∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BCAC＝ECDC＝tan 60°.
∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠EBC.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90° .
∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
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