47、（2013•眉山壓軸題）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移 個單位后得到的拋物線的解析式．
考點：二次函數綜合題
分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點A為直角頂點．過點A作直線AD的垂線，與拋物線的交點即為所求點P．首先求出直線PA的解析式，然后聯立拋物線與直線PA的解析式，求出點P的坐標；
②以點P為直角頂點．此時點P只能與點B重合；
③以點E為直角頂點．此時點P亦只能與點B重合．
（3）拋物線沿射線AD方向平移 個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位．據此，按照“左加右減”的原則，確定平移后拋物線的解析式．
解答：解：（1）根據題意得，A（1，0），D（0，1），B（?3，0），C（0，?3）．
拋物線經過點A（1，0），B（?3，0），C（0，?3），則有：
，
解得 ，
∴拋物線的解析式為：y=x2+2x?3．
（2）存在．
△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點A為直角頂點．
如解答圖，過點A作直線AD的垂線，與拋物線交于點P，與y軸交于點F．
∵OA=OD=1，則△AOD為等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，則△OAF為等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，?1）．
設直線PA的解析式為y=kx+b，將點A（1，0），F（0，?1）的坐標代入得：
，
解得k=1，b=?1，
∴y=x?1．
將y=x?1代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x?3得，x2+2x?3=x?1，
整理得：x2+x?2=0，
解得x=?2或x=1，
當x=?2時，y=x?1=?3，
∴P（?2，?3）；
②以點P為直角頂點．
此時∠PAE=45°，因此點P只能在x軸上或過點A與y軸平行的直線上．
過點A與y軸平行的直線，只有點A一個交點，故此種情形不存在；
因此點P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點只有點A、點B，故點P與點B重合．
∴P（?3，0）；
③以點E為直角頂點．
此時∠EAP=45°，由②可知，此時點P只能與點B重合，點E位于直線AD與對稱軸的交點上．
綜上所述，存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形．點P的坐標為（?2，?3）或（?3，0）．
（3）拋物線的解析式為：y=x2+2x?3=（x+1）2?4．
拋物線沿射線AD方向平移 個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）2?4+1=x2+4x+1．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，涉及二次函數的圖象與性質、待定系數法、拋物線與平移、等腰直角三角形等知識點，試題的考查重點是分類討論的數學思想．
48、(2013河南省壓軸題)如圖，拋物線 與直線 交于 兩點，其中點 在 軸上，點 的坐標為 。點 是 軸右側的拋物線上一動點，過點 作 軸于點 ，交 于點 .
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點 的橫坐標為 ，當 為何值時，以 為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。
（3）若存在點 ，使 ，請直接寫出相應的點 的坐標
【解答】（1）∵直線 經過點 ,∴
∵拋物線 經過點 ，
∴
∴拋物線的解析式為
（2）∵點 的橫坐標為 且在拋物線上
∴
∵ ∥ ，∴當 時，以 為頂點的四邊形是平行四邊形
①當 時，
∴ ，解得：
即當 或 時，四邊形 是平行四邊形
②當 時，
，解得： （舍去）
即當 時，四邊形 是平行四邊形
（3）如圖，當點 在 上方且 時，
作 ,則
△PF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得： ， （舍去） ∴ 。
同理可以求得：另外一點為
49、(2013年黃石壓軸題)如圖1所示，已知直線 與 軸、 軸分別交于 、 兩點，拋物線 經過 、 兩點，點 是拋物線與 軸的另一個交點，當 時， 取最大值 .
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設點 是直線 上一點，且 ABP ： BPC ，求點 的坐標；
（3）若直線 與（1）中所求的拋物線交于 、 兩點，問:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由；
②猜想當 時， 的取值范圍（不寫過程，直接寫結論）.
（參考公式：在平面直角坐標系中，若 ， ，則 ， 兩點間的距離為 ）
解析：
解：（1）由題意得 解得
∴拋物線的解析式為 ∴ ，
∴直線 的解析式為 （2分）
（2）分兩種情況：
①點 在線段 上時，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②點 在線段 的延長線上時，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
綜上所述， 或 （4分）
（3）①方法1：假設存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點（ 在 的左側），使得
由 得
∴ ，
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 （3分）
方法2：假設存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點（ 在 軸上側），使得 ，如圖，過 作 于 ，過 作 于
可證明
∴ 即
∴ 即
以下過程同上
②當 時， （1分）
50、（壓軸題5-6與二次函數相關的綜合題•2013東營中考）(本題滿分12分) 已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點A（2，0），與y軸的交點為
B（0，-1）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在對稱軸右側的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．
(3)在（2）的基礎上，設直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．
24. (本題滿分12分)分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可直接設拋物線的解析式為頂點式進行求解.
（2）設C點坐標為（x,y）,由題意可知 .過點C作 軸于點D,連接AB,AC.易證 ,根據對應線段成比例得出 的關系式 ，再根據點C在拋物線上得 ，聯立兩個關系式組成方程組，求出 的值，再根據點C所在的象限確定點C的坐標。P為BC的中點，取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．可得 ,故點H的坐標為（5,0）再根據點P在BC上，可求出直線BC的解析式，求出點P的坐標。
（3）根據 ,得 ，所以求 的最大值就是求N的最大值，而,N兩點的橫坐標相同，所以N就等于點N的縱坐標減去點的縱坐標,從而形成關于N長的二次函數解析式，利用二次函數的最值求解。
解：(1) ∵拋物線的頂點是A(2,0)，設拋物線的解析式為 .
由拋物線過B(0,-1) 得 ，∴ ．……………………2分
∴拋物線的解析式為 .
即 ．………………………………3分
(2)設C的坐標為(x，y).
∵A在以BC為直徑的圓上.∴∠BAC=90°．
作CD⊥x軸于D ,連接AB、AC．
∵ , ∴
∴ △AOB∽△CDA．………………………4分 ∴
∴OB•CD=OA•AD．
即1• =2(x-2).∴ =2x-4．
∵點C在第四象限.
∴ ………………………………5分
由 解得 ．
∵點C在對稱軸右側的拋物線上.
∴點C的坐標為 (10,-16)．……………………6分
∵P為圓心，∴P為BC中點．
取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．
∴PH= (OB+CD)= ．……………………7分
∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, )．
故點P坐標為(5， )．…………………………8分
(3)設點N的坐標為 ，直線x=t（0<t<10）與直線BC交于點.
，
所以 ………………………9分
設直線BC的解析式為 ，直線BC經過B(0,-1)、C (10,-16)
所以 成立，解得： …………………………10分
所以直線BC的解析式為 ，則點的坐標為.
N= = ………………………11分
= =
所以，當t=5時， 有最大值，最大值是 .…………………………12分
點撥：（1）已知拋物線的頂點坐標（h,k）一般可設其解析式為 .(2)求最值問題一般考慮根據已知條件構造二次函數求解.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/242528.html
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